Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ điểm M là thuộc cạnh ${A}'{B}'$ sao cho ${A}'{B}'=3{A}'M$. Đường thẳng BM cắt đường thẳng $A{A}'$ tại F, và đường thẳng CF cắt đường thẳng ${A}'{C}'$ tại G. Tính tỉ số thể tích khối chóp $F{A}'MG$ và thể tích khối đa diện lồi $GM{B}'{C}'CB$.
A. $\dfrac{1}{28}$.
B. $\dfrac{1}{11}$.
C. $\dfrac{3}{22}$.
D. $\dfrac{1}{27}$.
Gọi V là thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$, ${{V}_{1}}$ là thể tích khối chóp $F{A}'MG$, ${{V}_{2}}$ là thể tích khối đa diện lồi $GM{B}'{C}'CB$.
${A}'M//AB\Rightarrow \dfrac{F{A}'}{FA}=\dfrac{FM}{FB}=\dfrac{{A}'M}{AB}=\dfrac{1}{3}$ ;
${A}'G//AC\Rightarrow \dfrac{FG}{FC}=\dfrac{F{A}'}{FA}=\dfrac{1}{3}$ ;
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{F{A}'MG}}}{{{V}_{FABC}}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{27}\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{1}{27}{{V}_{FABC}}$
${{V}_{FABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}d\left( F,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.\dfrac{3}{2}d\left( {A}',\left( ABC \right) \right)=\dfrac{1}{2}V$
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{1}{27}.\dfrac{1}{2}V=\dfrac{1}{54}V$
${{V}_{2}}=V-{{V}_{A'MGABC}}=V-\left( {{V}_{FABC}}-{{V}_{F{A}'MG}} \right)$
$=V-\left( \dfrac{1}{2}V-\dfrac{1}{54}V \right)=\dfrac{14}{27}V$
Nên: $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{28}$
A. $\dfrac{1}{28}$.
B. $\dfrac{1}{11}$.
C. $\dfrac{3}{22}$.
D. $\dfrac{1}{27}$.
Gọi V là thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$, ${{V}_{1}}$ là thể tích khối chóp $F{A}'MG$, ${{V}_{2}}$ là thể tích khối đa diện lồi $GM{B}'{C}'CB$.
${A}'M//AB\Rightarrow \dfrac{F{A}'}{FA}=\dfrac{FM}{FB}=\dfrac{{A}'M}{AB}=\dfrac{1}{3}$ ;
${A}'G//AC\Rightarrow \dfrac{FG}{FC}=\dfrac{F{A}'}{FA}=\dfrac{1}{3}$ ;
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{F{A}'MG}}}{{{V}_{FABC}}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{27}\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{1}{27}{{V}_{FABC}}$
${{V}_{FABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}d\left( F,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.\dfrac{3}{2}d\left( {A}',\left( ABC \right) \right)=\dfrac{1}{2}V$
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{1}{27}.\dfrac{1}{2}V=\dfrac{1}{54}V$
${{V}_{2}}=V-{{V}_{A'MGABC}}=V-\left( {{V}_{FABC}}-{{V}_{F{A}'MG}} \right)$
$=V-\left( \dfrac{1}{2}V-\dfrac{1}{54}V \right)=\dfrac{14}{27}V$
Nên: $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{28}$
Đáp án A.