Cho khối lăng trụ . $ABC{{A}^{'}}{{B}^{'}}{{C}^{'}}$ có thể tích...

Phương pháp:
Phân chia khối đa diện.
Cách giải:

Ta có: ${{V}_{AMDBNE}}={{V}_{C'.CDE}}-{{V}_{CC'ABMN}}={{V}_{C'.CDE}}-\left( V-{{V}_{C'.A'B'NM}} \right)$
+)So sánh ${{V}_{C'.CDE}}$ với V.
Ta có: $\dfrac{{{S}_{CDE}}}{{{S}_{ABC}}~}=\dfrac{CD}{CA}.\dfrac{CE}{CB}$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $~\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{AM}{CC'}=\dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow \dfrac{CD}{CA}=2;\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{BN}{CC'}~=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{CE}{CB}=\dfrac{3}{2}.$
$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{CDE}}}{{{S}_{ABC}}}~=\dfrac{CD}{CA}.\dfrac{CE}{CB}~=2.\dfrac{3}{2}~=3.~$
Lại có chóp C'.CDEvà lăng trụ có cùng chiều cao.
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{C'.~CDE}}}{V}=\dfrac{1}{3}\dfrac{{{S}_{CDE}}}{{{S}_{ABC}}}~1\Rightarrow {{V}_{C'.~CDE}}=V$
+) So sánh ${{V}_{C'.A'B'NM}}$ với V.
Ta có:
$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{A'B' NM }}}{{{S}_{ABB'A'}}}~=\dfrac{\dfrac{1}{2}(A'M+B'N). d(A'; BB')}{BB'. d(A'; BB')}$
$=\dfrac{\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2} BB'+\dfrac{2}{3} BB')}{BB'}=\dfrac{7}{12}$
$\Rightarrow $ $\dfrac{{{V}_{C'.A'B'NM}}}{{{V}_{C'.ABB'A'}}}=\dfrac{{{S}_{A'B'NM}}}{{{S}_{ABB'A'}}}=\dfrac{7}{12}\Rightarrow {{V}_{C'.A'B'NM}}=\dfrac{7}{12}{{V}_{C'.ABB'A'}}$
Mà ${{V}_{C'.ABB'A'}}=\dfrac{2}{3}V$ nên ${{V}_{C'.AB'NM}}=\dfrac{7}{12}.\dfrac{2}{3}V=\dfrac{7}{18}V$
Vậy ${{V}_{AMDBNE}}=V-\left( V-\dfrac{7}{18} \right)=\dfrac{7}{18}~V hay \dfrac{ {{V}_{AMDBNE}}}{V}=\dfrac{7}{18}~.~$