Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích $V$, điểm $P$ thuộc cạnh $A{A}'$, $Q$ thuộc $B{B}'$ sao cho $\dfrac{PA}{P{A}'}=\dfrac{Q{B}'}{QB}=\dfrac{1}{3}$ ; $R$ là trung điểm $C{C}'$. Thể tích khối chóp tứ giác $R.ABQP$ bằng
A. $\dfrac{1}{3}V$
B. $\dfrac{2}{3}V$
C. $\dfrac{3}{4}V$
D. $\dfrac{1}{2}V$
Cách 1: Nếu bài toán đúng với mọi hình lăng trụ thì bài toán cũng phải đúng với hình lăng trụ đặc biệt
Giả sử $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và $AB=AC=4;A{A}'=4$
Chọn hệ trục tọa độ với $AB\equiv Ax;AC\equiv Ay;A{A}'\equiv Az$
Thể tích khối lăng trụ ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.A{A}'=\dfrac{1}{2}.4.4.4=32$
Diện tích ${{S}_{ABQP}}={{S}_{APTB}}+{{S}_{PTQ}}=4.1+\dfrac{1}{2}.4.2=8$
Chiều cao hình chóp $R.ABQP$ là: $d\left( R;ABQP \right)=d\left( R;Oxz \right)=\left| {{y}_{R}} \right|=4$
(Vì $R\left( 0;4;2 \right);\left( Oxz \right):y=0$ )
Suy ra thể tích khối chóp: ${{V}_{R.ABPQ}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABQP}}.d\left( R;\left( ABQP \right) \right)=\dfrac{1}{3}.8.4=\dfrac{32}{3}$
Vậy $\dfrac{{{V}_{R.ABPQ}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\dfrac{1}{3}$
Cách 2: ${{V}_{R.ABQP}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{R.AB{B}'{A}'}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$
A. $\dfrac{1}{3}V$
B. $\dfrac{2}{3}V$
C. $\dfrac{3}{4}V$
D. $\dfrac{1}{2}V$
Cách 1: Nếu bài toán đúng với mọi hình lăng trụ thì bài toán cũng phải đúng với hình lăng trụ đặc biệt
Giả sử $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và $AB=AC=4;A{A}'=4$
Chọn hệ trục tọa độ với $AB\equiv Ax;AC\equiv Ay;A{A}'\equiv Az$
Thể tích khối lăng trụ ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.A{A}'=\dfrac{1}{2}.4.4.4=32$
Diện tích ${{S}_{ABQP}}={{S}_{APTB}}+{{S}_{PTQ}}=4.1+\dfrac{1}{2}.4.2=8$
Chiều cao hình chóp $R.ABQP$ là: $d\left( R;ABQP \right)=d\left( R;Oxz \right)=\left| {{y}_{R}} \right|=4$
(Vì $R\left( 0;4;2 \right);\left( Oxz \right):y=0$ )
Suy ra thể tích khối chóp: ${{V}_{R.ABPQ}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABQP}}.d\left( R;\left( ABQP \right) \right)=\dfrac{1}{3}.8.4=\dfrac{32}{3}$
Vậy $\dfrac{{{V}_{R.ABPQ}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\dfrac{1}{3}$
Cách 2: ${{V}_{R.ABQP}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{R.AB{B}'{A}'}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$
Đáp án A.