Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích bằng V. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,B{B}',{A}'{C}'.$ Thể tích của khối tứ diện $CMNP$ bằng
A. $\dfrac{5}{24}V.$
B. $\dfrac{1}{4}V$
C. $\dfrac{7}{24}V.$
D. $\dfrac{1}{3}V.$
Kẻ $PI\bot AC\left( I\in AC \right)$, gọi $J=PN\cap IB$.
Tỉ số $\dfrac{{{V}_{P.MNC}}}{{{V}_{J.MNC}}}=\dfrac{d\left( P;\left( MNC \right) \right)}{d\left( J;\left( MNC \right) \right)}=\dfrac{PN}{JN}=1\Rightarrow {{V}_{P.MNC}}={{V}_{J.MNC}}$
Ta có ${{V}_{J.MNC}}={{V}_{N.JMC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{{B}'.JMC}}$.
Mà ${{S}_{JMC}}={{S}_{MBC}}+{{S}_{BCJ}}+{{S}_{MBJ}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABC}}+{{S}_{BCI}}+{{S}_{MBI}}$
$=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABC}}+\dfrac{1}{2}{{S}_{ABC}}+\dfrac{1}{4}{{S}_{ABC}}=\dfrac{5}{4}{{S}_{ABC}}$
$\Rightarrow {{V}_{J.MNC}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{5}{4}{{V}_{{B}'.ABC}}=\dfrac{5}{8}.\dfrac{1}{3}V=\dfrac{5}{24}V\Rightarrow {{V}_{P.MNC}}=\dfrac{5}{24}V$.
A. $\dfrac{5}{24}V.$
B. $\dfrac{1}{4}V$
C. $\dfrac{7}{24}V.$
D. $\dfrac{1}{3}V.$
Kẻ $PI\bot AC\left( I\in AC \right)$, gọi $J=PN\cap IB$.
Tỉ số $\dfrac{{{V}_{P.MNC}}}{{{V}_{J.MNC}}}=\dfrac{d\left( P;\left( MNC \right) \right)}{d\left( J;\left( MNC \right) \right)}=\dfrac{PN}{JN}=1\Rightarrow {{V}_{P.MNC}}={{V}_{J.MNC}}$
Ta có ${{V}_{J.MNC}}={{V}_{N.JMC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{{B}'.JMC}}$.
Mà ${{S}_{JMC}}={{S}_{MBC}}+{{S}_{BCJ}}+{{S}_{MBJ}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABC}}+{{S}_{BCI}}+{{S}_{MBI}}$
$=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABC}}+\dfrac{1}{2}{{S}_{ABC}}+\dfrac{1}{4}{{S}_{ABC}}=\dfrac{5}{4}{{S}_{ABC}}$
$\Rightarrow {{V}_{J.MNC}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{5}{4}{{V}_{{B}'.ABC}}=\dfrac{5}{8}.\dfrac{1}{3}V=\dfrac{5}{24}V\Rightarrow {{V}_{P.MNC}}=\dfrac{5}{24}V$.
Đáp án A.