Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích bằng $1$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $A{A}'$ và $B{B}'$. Đường thẳng $CM$ cắt đường thẳng ${C}'{A}'$ tại $P$, đường thẳng $CN$ cắt đường thẳng ${C}'{B}'$ tại $Q$. Thể tích khối đa diện lồi ${A}'MP{B}'NQ$ bằng
A. $1$.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $\dfrac{2}{3}$.
A. $1$.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $\dfrac{2}{3}$.
Gọi $D$ là trung điểm của $C{C}'$, $h, S, V$ lần lượt là chiều cao, diện tích đáy và thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
Thế thì ta có: ${{S}_{DMN}}=S ; {{S}_{{C}'PQ}}=4S$.
$\dfrac{{{V}_{{A}'MP{B}'NQ}}}{V}=\dfrac{{{V}_{C.{C}'PQ}}-\left( {{V}_{MND.{A}'{B}'{C}'}}+{{V}_{C.MND}} \right)}{V}=\dfrac{\dfrac{1}{3}.4S.h-\left( S.\dfrac{h}{2}+\dfrac{1}{3}.S.\dfrac{h}{2} \right)}{S.h}=\dfrac{4}{3}-\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6} \right)=\dfrac{2}{3}$
Do đó ${{V}_{{A}'MP{B}'NQ}}=\dfrac{2}{3}$.
Thế thì ta có: ${{S}_{DMN}}=S ; {{S}_{{C}'PQ}}=4S$.
$\dfrac{{{V}_{{A}'MP{B}'NQ}}}{V}=\dfrac{{{V}_{C.{C}'PQ}}-\left( {{V}_{MND.{A}'{B}'{C}'}}+{{V}_{C.MND}} \right)}{V}=\dfrac{\dfrac{1}{3}.4S.h-\left( S.\dfrac{h}{2}+\dfrac{1}{3}.S.\dfrac{h}{2} \right)}{S.h}=\dfrac{4}{3}-\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6} \right)=\dfrac{2}{3}$
Do đó ${{V}_{{A}'MP{B}'NQ}}=\dfrac{2}{3}$.
Đáp án D.