Cho khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có thể tích bằng 1. Gọi M, N...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Cho khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng

A A^{'}

và

B B^{'}

. Đường thẳng CM cắt đường thẳng

C^{'} A^{'}

tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng

C^{'} B^{'}

tại Q. Thể tích của khối đa diện lồi

A^{'} . M P B^{'} N Q

bằng
A. 1.
B.

\frac{1}{3}

.
C.

\frac{1}{2}

.
D.

\frac{2}{3}

.

Ta có

A^{'}

là trung điểm

P C^{'}

,

B^{'}

là trung điểm

Q C^{'}

.
Do đó

V_{C . C^{'} P Q} = \frac{S_{C^{'} P Q}}{S_{C^{'} A^{'} B^{'}}} . V_{C . A^{'} B^{'} C^{'}} = 4 V_{C . A^{'} B^{'} C^{'}} = 4 (\frac{1}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}) = \frac{4}{3}

Mặt khác

V_{A^{'} B^{'} C^{'} . M N C} = \frac{\frac{A^{'} M}{A^{'} A} + \frac{B^{'} N}{B^{'} B} + \frac{C^{'} C}{C^{'} C}}{3} . V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1}{3} . V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{2}{3}

.
Do đó

V_{A^{'} M B^{'} N Q} = V_{C . C^{'} P Q} - V_{A^{'} B^{'} C^{'} . M N C} = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

.

Đáp án D.

Cho khối lăng trụ ABC.A′B′C′ có thể tích bằng 1. Gọi M, N...