Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $A{A}'$ và $B{B}'$. Đường thẳng CM cắt đường thẳng ${C}'{A}'$ tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng ${C}'{B}'$ tại Q. Thể tích của khối đa diện lồi ${A}'.MP{B}'NQ$ bằng
A. 1.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $\dfrac{2}{3}$.
Ta có ${A}'$ là trung điểm $P{C}'$, ${B}'$ là trung điểm $Q{C}'$.
Do đó ${{V}_{C.{C}'PQ}}=\dfrac{{{S}_{{C}'PQ}}}{S{_{{C}'{A}'{B}'}}}.{{V}_{C.{A}'{B}'{C}'}}=4{{V}_{C.{A}'{B}'{C}'}}=4\left( \dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}} \right)=\dfrac{4}{3}$
Mặt khác
${{V}_{{A}'{B}'{C}'.MNC}}=\dfrac{\dfrac{{A}'M}{{A}'A}+\dfrac{{B}'N}{{B}'B}+\dfrac{{C}'C}{{C}'C}}{3}.{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+1}{3}.{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{2}{3}$.
Do đó ${{V}_{{A}'M{B}'NQ}}={{V}_{C.{C}'PQ}}-{{V}_{{A}'{B}'{C}'.MNC}}=\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}$.
A. 1.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $\dfrac{2}{3}$.
Ta có ${A}'$ là trung điểm $P{C}'$, ${B}'$ là trung điểm $Q{C}'$.
Do đó ${{V}_{C.{C}'PQ}}=\dfrac{{{S}_{{C}'PQ}}}{S{_{{C}'{A}'{B}'}}}.{{V}_{C.{A}'{B}'{C}'}}=4{{V}_{C.{A}'{B}'{C}'}}=4\left( \dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}} \right)=\dfrac{4}{3}$
Mặt khác
${{V}_{{A}'{B}'{C}'.MNC}}=\dfrac{\dfrac{{A}'M}{{A}'A}+\dfrac{{B}'N}{{B}'B}+\dfrac{{C}'C}{{C}'C}}{3}.{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+1}{3}.{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{2}{3}$.
Do đó ${{V}_{{A}'M{B}'NQ}}={{V}_{C.{C}'PQ}}-{{V}_{{A}'{B}'{C}'.MNC}}=\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}$.
Đáp án D.