Cho khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác đều. Mặt...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy là tam giác đều. Mặt bên

B B^{'} C^{'} C

là hình thoi có

\hat{B^{'} B C}

nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng

C C^{'}

và

A B^{'}

lần lượt bằng

\frac{4 \sqrt{35}}{7}; α

với

\cos α = \frac{\sqrt{7}}{4}

. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.

12 \sqrt{3}

.
B.

12 \sqrt{5}

.
C.

3 \sqrt{6}

.
D.

9 \sqrt{6}

.

Đặt

A B = x > 0

suy ra

A B = B C = B B^{'} = x

.
Trong mặt phẳng

(B B^{'} C^{'} B)

hạ

B^{'} H ⊥ B C

. Suy ra

B^{'} H ⊥ (A B C)

.
Ta có:

B B^{'} // C C^{'} \Rightarrow (\hat{C C^{'}, A B^{'}}) = (\hat{B B^{'}, A B^{'}}) = \hat{B B^{'} A}

( do

\hat{B B^{'} A}

nhọn)
Xét

Δ A B B^{'}

có:

\cos \hat{B B^{'} A} = \frac{B {B^{'}}^{2} + A {B^{'}}^{2} - A B^{2}}{2 B B^{'} . A B^{'}} = \frac{x^{2} + A {B^{'}}^{2} - x^{2}}{2 x A B^{'}} = \frac{A B^{'}}{2 x} \Leftrightarrow A B^{'} = 2 x . \cos \hat{B B^{'} A} = \frac{x \sqrt{7}}{2}

.
Xét

Δ A B H

có

A H^{2} = A B^{2} + B H^{2} - 2 A B \cdot B H \cdot \cos 60^{^{\circ}} = x^{2} + B H^{2} - x \cdot B H

.
Xét

Δ A H B^{'}

có

A {B^{'}}^{2} = B^{'} H^{2} + A H^{2} \Leftrightarrow B^{'} H^{2} = A {B^{'}}^{2} - A H^{2} = \frac{7 x^{2}}{4} - (x^{2} + B H^{2} - x \cdot B H)

.
Xét

Δ B^{'} B H

có

B^{'} H^{2} = B {B^{'}}^{2} - B H^{2} = x^{2} - B H^{2} \Leftrightarrow B H^{2} = x^{2} - B^{'} H^{2}

\Leftrightarrow B H^{2} = x^{2} - \frac{7 x^{2}}{4} + (x^{2} + B H^{2} - x \cdot B H) = \frac{x^{2}}{4} + B H^{2} - x B H

\Leftrightarrow B H = \frac{x}{4}

.
Suy ra

B^{'} H = \frac{x \sqrt{15}}{4}

. Khi đó

V_{A B C \cdot A B C} = B^{'} H \cdot S_{A B C} = \frac{3 x^{3} \sqrt{5}}{16} = V

.

V_{B^{'} . A C C^{'}} = \frac{1}{2} V_{B^{'} . A C C^{'} A^{'}} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{1}{3} V \Leftrightarrow \frac{1}{6} A B^{'} . C C^{'} . d (A B^{'}, C C^{'}) . \sin (A B^{'}, C C^{'}) = \frac{1}{3} \frac{3 x^{3} \sqrt{5}}{16}

\Leftrightarrow \frac{1}{6} \frac{x^{2} \sqrt{7}}{2} . \frac{4 \sqrt{35}}{7} . \frac{3}{4} = \frac{1}{3} \frac{3 x^{3} \sqrt{5}}{16} \Leftrightarrow x = 4

.
Vậy

V_{A B C . A B^{'} C} = 12 \sqrt{5}

.

Đáp án B.

Cho khối lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều. Mặt...