Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của ${A}'$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trung điểm cạnh $BC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${B}'{C}'$ và $A{A}'$ bằng $6a$ ; góc giữa hai mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$ và $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$ bằng $60{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. $84\sqrt{21}{{a}^{3}}$
B. $108{{a}^{3}}$.
C. $324\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
D. $24\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
Gọi cạnh hình đáy là $x$, chiều cao lăng trụ là $h$.
Gọi $H$ là trung điểm $BC\Rightarrow {A}'H\bot \left( ABC \right),AH\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( A{A}'H \right)\Rightarrow BC\bot A{A}'$.
Ta có: ${{V}_{LT}}=3{{V}_{A{A}'{B}'{C}'}}=3.\dfrac{1}{6}.A{A}'.{B}'C'.d\left( A{A}';{B}'{C}' \right).\sin \left( A{A}';{B}'{C}' \right)$
$=\dfrac{1}{2}x\sqrt{{{h}^{2}}+\dfrac{3{{x}^{2}}}{4}}.6a.sin90{}^\circ $ (1).
Mặt khác: ${{V}_{LT}}=3{{V}_{{A}'ABC}}=h.\dfrac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ (2)
$K$ là hình chiếu của $H$ lên $AB\Rightarrow \left( \left( AB{B}'{A}' \right),\left( ABC \right) \right)=\widehat{{A}'KH}=60{}^\circ $.
$KH=HB\sin \widehat{HBK}=\dfrac{x\sqrt{3}}{4}$ ; $h=HK\tan \widehat{{A}'KH}=\dfrac{3x}{4}$ (3).
Từ (1), (2), (3) ta có: $x.3a.\sqrt{\dfrac{9}{16}{{x}^{2}}+\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}}=\dfrac{3{{x}^{3}}\sqrt{3}}{13}\Rightarrow x=4a\sqrt{7}$.
Vậy tích khối lăng trụ đã cho bằng $24\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
A. $84\sqrt{21}{{a}^{3}}$
B. $108{{a}^{3}}$.
C. $324\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
D. $24\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
Gọi $H$ là trung điểm $BC\Rightarrow {A}'H\bot \left( ABC \right),AH\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( A{A}'H \right)\Rightarrow BC\bot A{A}'$.
Ta có: ${{V}_{LT}}=3{{V}_{A{A}'{B}'{C}'}}=3.\dfrac{1}{6}.A{A}'.{B}'C'.d\left( A{A}';{B}'{C}' \right).\sin \left( A{A}';{B}'{C}' \right)$
$=\dfrac{1}{2}x\sqrt{{{h}^{2}}+\dfrac{3{{x}^{2}}}{4}}.6a.sin90{}^\circ $ (1).
Mặt khác: ${{V}_{LT}}=3{{V}_{{A}'ABC}}=h.\dfrac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ (2)
$K$ là hình chiếu của $H$ lên $AB\Rightarrow \left( \left( AB{B}'{A}' \right),\left( ABC \right) \right)=\widehat{{A}'KH}=60{}^\circ $.
$KH=HB\sin \widehat{HBK}=\dfrac{x\sqrt{3}}{4}$ ; $h=HK\tan \widehat{{A}'KH}=\dfrac{3x}{4}$ (3).
Từ (1), (2), (3) ta có: $x.3a.\sqrt{\dfrac{9}{16}{{x}^{2}}+\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}}=\dfrac{3{{x}^{3}}\sqrt{3}}{13}\Rightarrow x=4a\sqrt{7}$.
Vậy tích khối lăng trụ đã cho bằng $24\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
Đáp án D.