Cho khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác đều. Hình...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của

A^{'}

lên mặt phẳng

(A B C)

trùng với trung điểm cạnh

B C

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

B^{'} C^{'}

và

A A^{'}

bằng

6 a

; góc giữa hai mặt phẳng

(A B B^{'} A^{'})

và

(A^{'} B^{'} C^{'})

bằng

60^{\circ}

. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.

84 \sqrt{21} a^{3}

B.

108 a^{3}

.
C.

324 \sqrt{3} a^{3}

.
D.

24 \sqrt{6} a^{3}

.

Gọi cạnh hình đáy là

x

, chiều cao lăng trụ là

h

.
Gọi

H

là trung điểm

B C \Rightarrow A^{'} H ⊥ (A B C), A H ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (A A^{'} H) \Rightarrow B C ⊥ A A^{'}

.
Ta có:

V_{L T} = 3 V_{A A^{'} B^{'} C^{'}} = 3. \frac{1}{6} . A A^{'} . B^{'} C^{'} . d (A A^{'}; B^{'} C^{'}) . \sin (A A^{'}; B^{'} C^{'})

= \frac{1}{2} x \sqrt{h^{2} + \frac{3 x^{2}}{4}} .6 a . s i n 90^{\circ}

(1).
Mặt khác:

V_{L T} = 3 V_{A^{'} A B C} = h . \frac{x^{2} \sqrt{3}}{4}

(2)

K

là hình chiếu của

H

lên

A B \Rightarrow ((A B B^{'} A^{'}), (A B C)) = \hat{A^{'} K H} = 60^{\circ}

.

K H = H B \sin \hat{H B K} = \frac{x \sqrt{3}}{4}

;

h = H K \tan \hat{A^{'} K H} = \frac{3 x}{4}

(3).
Từ (1), (2), (3) ta có:

x .3 a . \sqrt{\frac{9}{16} x^{2} + \frac{3}{4} x^{2}} = \frac{3 x^{3} \sqrt{3}}{13} \Rightarrow x = 4 a \sqrt{7}

.
Vậy tích khối lăng trụ đã cho bằng

24 \sqrt{6} a^{3}

.

Đáp án D.

Cho khối lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều. Hình...