Cho khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác đều, góc...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy là tam giác đều, góc giữa hai mặt phẳng

(A^{'} B^{'} C^{'})

và

(B C C^{'} B^{'})

bằng

60^{\circ}

, hình chiếu vuông góc của

B^{'}

lên mặt phẳng

(A B C)

trùng với trọng tâm tam giác

A B C

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

A A^{'}

và

B^{'} C^{'}

bằng

3 a

. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.

8 a^{3} \sqrt{3}

.
B.

\frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{3}

.
C.

\frac{8 a^{3} \sqrt{6}}{3}

.
D.

8 a^{3} \sqrt{6}

.

Gọi

M

là trung điểm

B C

,

O

là trọng tâm tam giác

A B C

,

H

là hình chiếu vuông góc của

O

lên

B^{'} M

. Giả sử cạnh đáy bằng

x

.
Ta có

B^{'} O ⊥ (A B C)

và

((A^{'} B^{'} C^{'}), (B C C^{'} B^{'})) = ((A B C), (B C C^{'} B^{'})) = \hat{B^{'} M O}

.

d (A^{'} A, B^{'} C^{'}) = d (A^{'} A, (B^{'} C^{'} C B)) = d (A, (B^{'} C^{'} C B)) = 3 d (O, (B^{'} C^{'} C B)) = 3 O H = 3 a

\Rightarrow O H = a

.
Trong tam giác

B^{'} O M

có

\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{B O^{2}} + \frac{1}{O M^{2}}

, trong đó

{\begin{aligned} O M = \frac{x \sqrt{3}}{6} \\ B^{'} O = O M . \tan 60^{\circ} = \frac{x}{2} \end{aligned}

.
Suy ra

\frac{1}{a^{2}} = \frac{4}{x^{2}} + \frac{12}{x^{2}} \Rightarrow x = 4 a

.
Thể tích khối lăng trụ

V = B^{'} O . S_{A B C} = \frac{x}{2} . \frac{x^{2} \sqrt{3}}{4} = 8 a^{3} \sqrt{3}

Đáp án A.

Cho khối lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều, góc...