Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều, góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$ và $\left( BC{C}'{B}' \right)$ bằng $60{}^\circ $, hình chiếu vuông góc của ${B}'$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trọng tâm tam giác $ABC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}'$ và ${B}'{C}'$ bằng $3a$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. $8{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
D. $8{{a}^{3}}\sqrt{6}$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên ${B}'M$. Giả sử cạnh đáy bằng $x$.
Ta có ${B}'O\bot \left( ABC \right)$ và $\left( \left( {A}'{B}'{C}' \right),\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=\left( \left( ABC \right),\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=\widehat{{B}'MO}$.
$d\left( {A}'A,{B}'{C}' \right)=d\left( {A}'A,\left( {B}'{C}'CB \right) \right)=d\left( A,\left( {B}'{C}'CB \right) \right)=3d\left( O,\left( {B}'{C}'CB \right) \right)=3OH=3a$
$\Rightarrow OH=a$.
Trong tam giác ${B}'OM$ có $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}$, trong đó $\left\{ \begin{aligned}
& OM=\dfrac{x\sqrt{3}}{6} \\
& {B}'O=OM.\tan 60{}^\circ =\dfrac{x}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{{{x}^{2}}}+\dfrac{12}{{{x}^{2}}}\Rightarrow x=4a$.
Thể tích khối lăng trụ $V={B}'O.{{S}_{ABC}}=\dfrac{x}{2}.\dfrac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}=8{{a}^{3}}\sqrt{3}$
A. $8{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
D. $8{{a}^{3}}\sqrt{6}$.
Ta có ${B}'O\bot \left( ABC \right)$ và $\left( \left( {A}'{B}'{C}' \right),\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=\left( \left( ABC \right),\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=\widehat{{B}'MO}$.
$d\left( {A}'A,{B}'{C}' \right)=d\left( {A}'A,\left( {B}'{C}'CB \right) \right)=d\left( A,\left( {B}'{C}'CB \right) \right)=3d\left( O,\left( {B}'{C}'CB \right) \right)=3OH=3a$
$\Rightarrow OH=a$.
Trong tam giác ${B}'OM$ có $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}$, trong đó $\left\{ \begin{aligned}
& OM=\dfrac{x\sqrt{3}}{6} \\
& {B}'O=OM.\tan 60{}^\circ =\dfrac{x}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{{{x}^{2}}}+\dfrac{12}{{{x}^{2}}}\Rightarrow x=4a$.
Thể tích khối lăng trụ $V={B}'O.{{S}_{ABC}}=\dfrac{x}{2}.\dfrac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}=8{{a}^{3}}\sqrt{3}$
Đáp án A.