Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ và $AC=2a$. Hình chiếu vuông góc của ${A}'$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trung điểm $H$ của cạnh $AB$ và $A{A}'=a\sqrt{2}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.
A. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
C. $V=2{{a}^{2}}\sqrt{2}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$.
+) Gọi $AB=BC=x$
Xét $\Delta ABC$ vuông cân tại $B,$ ta có:
$A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{x}^{2}}=4{{a}^{2}}\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=4{{a}^{2}}$
$\Rightarrow AB=BC=a\sqrt{2}$
+) Xét $\Delta A'AH$ vuông tại $H,$ ta có:
$AA{{'}^{2}}=A'{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}\Leftrightarrow A'{{H}^{2}}=AA{{'}^{2}}-A{{H}^{2}}=AA{{'}^{2}}-{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}$
$\Rightarrow A'H=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
+) ${{V}_{A'B'C'.ABC}}=A'H.{{S}_{ABC}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.\dfrac{1}{2}.a\sqrt{2}.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$
A. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
C. $V=2{{a}^{2}}\sqrt{2}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$.
Xét $\Delta ABC$ vuông cân tại $B,$ ta có:
$A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{x}^{2}}=4{{a}^{2}}\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=4{{a}^{2}}$
$\Rightarrow AB=BC=a\sqrt{2}$
+) Xét $\Delta A'AH$ vuông tại $H,$ ta có:
$AA{{'}^{2}}=A'{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}\Leftrightarrow A'{{H}^{2}}=AA{{'}^{2}}-A{{H}^{2}}=AA{{'}^{2}}-{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}$
$\Rightarrow A'H=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
+) ${{V}_{A'B'C'.ABC}}=A'H.{{S}_{ABC}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.\dfrac{1}{2}.a\sqrt{2}.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$
Đáp án D.