Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy ABC là tam giác vuông tại $A,AB=a,BC=2a$, ${A}'B$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và góc giữa ${A}'C$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng 30 (tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
B. $3{{a}^{3}}$.
C. ${{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
B. $3{{a}^{3}}$.
C. ${{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
Ta có $\left. \begin{aligned}
& {A}'C\cap \left( ABC \right)=C \\
& {A}'B\cap \left( ABC \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow \left( {A}'C;\left( ABC \right) \right)=\widehat{{A}'CB}=30{}^\circ $
ABC là tam giác vuông tại A $\Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$
Xét tam giác ${A}'BC$ vuông tại B có: $\tan 30{}^\circ =\dfrac{{A}'B}{BC}\Rightarrow {A}'B=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'B.{{S}_{ABC}}=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}.\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt{3}={{a}^{3}}$.
& {A}'C\cap \left( ABC \right)=C \\
& {A}'B\cap \left( ABC \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow \left( {A}'C;\left( ABC \right) \right)=\widehat{{A}'CB}=30{}^\circ $
ABC là tam giác vuông tại A $\Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$
Xét tam giác ${A}'BC$ vuông tại B có: $\tan 30{}^\circ =\dfrac{{A}'B}{BC}\Rightarrow {A}'B=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'B.{{S}_{ABC}}=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}.\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt{3}={{a}^{3}}$.
Đáp án C.