Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $ABC$ là tam giác vuông tại $A,AB=a,BC=2a$, ${A}'B$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và góc giữa ${A}'C$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng 30. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$
A. $3{{a}^{3}}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
C. ${{a}^{3}}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
A. $3{{a}^{3}}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
C. ${{a}^{3}}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
Hình vẽ
Theo đề ta có x $A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}={{\left( 2a \right)}^{2}}-{{a}^{2}}=3{{a}^{2}}\Leftrightarrow AC=a\sqrt{3}$
Diện tích đáy là ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}a.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
Góc giữa $\left( {A}'C,\left( ABC \right) \right)=\left( {A}'C;BC \right)={A}'CB={{30}^{0}}$
$\tan {{30}^{0}}=\dfrac{{A}'B}{BC}\Rightarrow {A}'B=BC.\tan {{30}^{0}}=2a.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$
Vậy thể tích khối lăng trụ là $V={A}'B.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}={{a}^{3}}$
Diện tích đáy là ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}a.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
Góc giữa $\left( {A}'C,\left( ABC \right) \right)=\left( {A}'C;BC \right)={A}'CB={{30}^{0}}$
$\tan {{30}^{0}}=\dfrac{{A}'B}{BC}\Rightarrow {A}'B=BC.\tan {{30}^{0}}=2a.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$
Vậy thể tích khối lăng trụ là $V={A}'B.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}={{a}^{3}}$
Đáp án C.