Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $A{C}'=8$, diện tích của tam giác ${A}'BC$ bằng 9 và đường thẳng $A{C}'$ tạo với mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ một góc $30{}^\circ $. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. $6$.
B. $18$.
C. $6\sqrt{3}$.
D. $18\sqrt{3}$.
Gọi $I$ là giao điểm của $A{C}'$ và ${A}'C$ nên $I$ là trung điểm của $A{C}'$.
Dễ thấy ${{V}_{A.{A}'BC}}={{V}_{{C}'.{A}'BC}}={{V}_{B.{A}'{B}'{C}'}}$ ⇒ ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=3{{V}_{A.{A}'BC}}$.
Do đường thẳng $A{C}'$ tạo với mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ một góc $30{}^\circ $
⇒ $AI$ tạo với mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ một góc $30{}^\circ $.
⇒ ${{d}_{\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)}}=AI.\sin 30{}^\circ =\dfrac{A{C}'}{2}.\sin 30{}^\circ =2$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=3{{V}_{A.{A}'BC}}=3.\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta {A}'BC}}.{{d}_{\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)}}=9.2=18.$
A. $6$.
B. $18$.
C. $6\sqrt{3}$.
D. $18\sqrt{3}$.
Dễ thấy ${{V}_{A.{A}'BC}}={{V}_{{C}'.{A}'BC}}={{V}_{B.{A}'{B}'{C}'}}$ ⇒ ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=3{{V}_{A.{A}'BC}}$.
Do đường thẳng $A{C}'$ tạo với mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ một góc $30{}^\circ $
⇒ $AI$ tạo với mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ một góc $30{}^\circ $.
⇒ ${{d}_{\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)}}=AI.\sin 30{}^\circ =\dfrac{A{C}'}{2}.\sin 30{}^\circ =2$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=3{{V}_{A.{A}'BC}}=3.\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta {A}'BC}}.{{d}_{\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)}}=9.2=18.$
Đáp án B.