Cho khối hộp hình chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có đáy hình vuông...

The Knowledge · 28/3/22

Câu hỏi: Cho khối hộp hình chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có đáy hình vuông,

A C = 2 \sqrt{3} a

,

((C^{'} B D), (A B C D)) = 60^{\circ}

. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
A.

6 a^{3}

B.

3 a^{3}

C.

\frac{3 \sqrt{6} a^{3}}{2}

D.

18 a^{3}

Gọi

O = A C \cap B D \Rightarrow O C = \frac{A C}{2} = a \sqrt{3}

,

A B = \frac{A C}{\sqrt{2}} = a \sqrt{6}

Ta có:

{\begin{matrix} B D = (C^{'} B D) \cap (A B C D) \\ B D ⊥ (A C C^{'} A^{'}) \\ O C^{'} = (A C C^{'} A^{'}) \cap (A B C D) \\ O C = (A C C^{'} A^{'}) \cap (C^{'} B D) \end{matrix}

\Rightarrow ((C^{'} B D), (A B C D)) = (O C^{'}, O C) = \hat{C O C^{'}} = 60^{\circ} (\hat{C O C^{'}} < 90^{\circ})

.
Xét tam giác

C O C^{'}

vuông tại

C

:
Ta có:

\tan \hat{C O C^{'}} = \frac{C C^{'}}{O C} \Leftrightarrow C C^{'} = O C \tan \hat{C O C^{'}} = a \sqrt{3} \tan 60^{\circ} = 3 a

Ta có:

V_{A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = S_{A B C D} C C^{'} = {(a \sqrt{6})}^{2} 3 a = 18 a^{3}

.

Đáp án D.

Cho khối hộp hình chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy hình vuông...