Google
Câu hỏi: Cho khối hộp hình chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy hình vuông, $AC=2\sqrt{3}a$, $\left( \left( C'BD \right),\left( ABCD \right) \right)=60{}^\circ $. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
A. $6{{a}^{3}}$
B. $3{{a}^{3}}$
C. $\dfrac{3\sqrt{6}{{a}^{3}}}{2}$
D. $18{{a}^{3}}$
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow OC=\dfrac{AC}{2}=a\sqrt{3}$, $AB=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{6}$
Ta có:$\left\{ \begin{matrix}
BD=\left( C'BD \right)\cap \left( ABCD \right) \\
BD\bot \left( ACC'A' \right) \\
OC'=\left( ACC'A' \right)\cap \left( ABCD \right) \\
OC=\left( ACC'A' \right)\cap \left( C'BD \right) \\
\end{matrix} \right.$
$\Rightarrow \left( \left( C'BD \right),\left( ABCD \right) \right)=\left( OC',OC \right)=\widehat{COC'}=60{}^\circ \left( \widehat{COC'}<90{}^\circ \right)$.
Xét tam giác $COC'$ vuông tại $C$ :
Ta có: $\tan \widehat{COC'}=\dfrac{CC'}{OC}\Leftrightarrow CC'=OC\tan \widehat{COC'}=a\sqrt{3}\tan 60{}^\circ =3a$
Ta có: ${{V}_{ABCDA'B'C'D'}}={{S}_{ABCD}}CC'={{\left( a\sqrt{6} \right)}^{2}}3a=18{{a}^{3}}$.
A. $6{{a}^{3}}$
B. $3{{a}^{3}}$
C. $\dfrac{3\sqrt{6}{{a}^{3}}}{2}$
D. $18{{a}^{3}}$
Ta có:$\left\{ \begin{matrix}
BD=\left( C'BD \right)\cap \left( ABCD \right) \\
BD\bot \left( ACC'A' \right) \\
OC'=\left( ACC'A' \right)\cap \left( ABCD \right) \\
OC=\left( ACC'A' \right)\cap \left( C'BD \right) \\
\end{matrix} \right.$
$\Rightarrow \left( \left( C'BD \right),\left( ABCD \right) \right)=\left( OC',OC \right)=\widehat{COC'}=60{}^\circ \left( \widehat{COC'}<90{}^\circ \right)$.
Xét tam giác $COC'$ vuông tại $C$ :
Ta có: $\tan \widehat{COC'}=\dfrac{CC'}{OC}\Leftrightarrow CC'=OC\tan \widehat{COC'}=a\sqrt{3}\tan 60{}^\circ =3a$
Ta có: ${{V}_{ABCDA'B'C'D'}}={{S}_{ABCD}}CC'={{\left( a\sqrt{6} \right)}^{2}}3a=18{{a}^{3}}$.
Đáp án D.