Google
Câu hỏi: Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, $BD=2a$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( A'BD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng ${{30}^{0}}$. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( A'BD \right)$ bằng
A. $\dfrac{2a\sqrt{13}}{13}.$
B. $\dfrac{a}{4}\cdot $
C. $\dfrac{a\sqrt{14}}{7}\cdot $
D. $\dfrac{a}{2}.$
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AO \\
& BD\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( AO{A}' \right)\Rightarrow {A}'O\bot BD$.
Khi đó $\left( \left( {A}'BD \right),\left( ABCD \right) \right)=\left( {A}'O,AO \right)=\widehat{{A}'OA}=30{}^\circ $.
Vẽ $AH\bot {A}'O$ tại $H$.
Ta có $BD\bot \left( AO{A}' \right)\Rightarrow \left( {A}'BD \right)\bot \left( AO{A}' \right)$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& \left( AO{A}' \right)\bot \left( {A}'BD \right) \\
& \left( AO{A}' \right)\cap \left( {A}'BD \right)={A}'O \\
& \text{Trong }\left( AO{A}' \right):AH\bot {A}'O \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( {A}'BD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( {A}'BD \right) \right)=AH$.
$AC=BD=2a\Rightarrow AO=a$, $AH=AO.\sin \widehat{AO{A}'}=a.\sin 30{}^\circ =\dfrac{a}{2}$.
Vậy $d\left( A,\left( {A}'BD \right) \right)=\dfrac{a}{2}$.
A. $\dfrac{2a\sqrt{13}}{13}.$
B. $\dfrac{a}{4}\cdot $
C. $\dfrac{a\sqrt{14}}{7}\cdot $
D. $\dfrac{a}{2}.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AO \\
& BD\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( AO{A}' \right)\Rightarrow {A}'O\bot BD$.
Khi đó $\left( \left( {A}'BD \right),\left( ABCD \right) \right)=\left( {A}'O,AO \right)=\widehat{{A}'OA}=30{}^\circ $.
Vẽ $AH\bot {A}'O$ tại $H$.
Ta có $BD\bot \left( AO{A}' \right)\Rightarrow \left( {A}'BD \right)\bot \left( AO{A}' \right)$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& \left( AO{A}' \right)\bot \left( {A}'BD \right) \\
& \left( AO{A}' \right)\cap \left( {A}'BD \right)={A}'O \\
& \text{Trong }\left( AO{A}' \right):AH\bot {A}'O \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( {A}'BD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( {A}'BD \right) \right)=AH$.
$AC=BD=2a\Rightarrow AO=a$, $AH=AO.\sin \widehat{AO{A}'}=a.\sin 30{}^\circ =\dfrac{a}{2}$.
Vậy $d\left( A,\left( {A}'BD \right) \right)=\dfrac{a}{2}$.
Đáp án D.