Google
Câu hỏi: Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng $AB$, $C{B}'$ bằng $\dfrac{2}{\sqrt{5}}a$, khoảng cách giữa 2 đường thẳng ${A}'{D}'$, ${B}'A$ bằng $\dfrac{2}{\sqrt{5}}a$. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng $B D^{\prime}, A C$ bằng $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}a$. Tính thể tích khối hộp chữ nhật đã cho.
A. ${{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
C. $2{{a}^{3}}$.
D. $\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
Giải sử các kích thức của hình hộp chữ nhật là ${AB=x}$, ${AD=y}$, ${AA=z}$ với ${x,y,z>0}$.
+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và ${B}'C$ bằng $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\begin{aligned}
& AB//CD \\
& CD\subset \left( {A}'{B}'CD \right) \\
& AB\not\subset \left( {A}'{B}'CD \right) \\
\end{aligned} \\
\end{array}\Rightarrow AB//\left( {A}'{B}'CD \right)\Rightarrow d\left( AB;{B}'C \right)=d\left( AB;\left( {A}'{B}'CD \right) \right) \right.$
$=d\left( A,\left( {A}'{B}'CD \right) \right)=AH=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$, với ${H}$ là hình chiếu của ${A}$ trên ${A}'D$.
Từ $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{y}^{2}}}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}} \left( 1 \right)$
+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${A}'{D}'$ và $A{B}'$ bằng $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
Tương tự, ta chứng minh được ${A}'{D}'//\left( A{B}'{C}'D \right)$ $\Rightarrow d\left( {A}'{D}';A{B}' \right)$ $=d\left( {A}'{D}',\left( A{B}'{C}'D \right) \right)$ $={A}'K=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$ với ${K}$ là hình chiếu của ${A}'$ trên $A{B}'$.
Từ $\dfrac{1}{{A}'{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{{A}'{{{{B}'}}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}} \left( 2 \right)$
+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $B{D}'$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $\{O\}=AC\cap BD\Rightarrow O$ là trung điểm của ${B D}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $D{D}'$ thì $OI$ là đường trung bình của
$\Delta BD{D}'\Rightarrow OI//B{D}'\Rightarrow B{D}'//\left( ACI \right)$.
$\Rightarrow d\left( B{D}';AC \right)=d\left( B{D}';\left( ACI \right) \right)=d\left( {D}';\left( ACI \right) \right)=d\left( D;\left( ACI \right) \right)$.
Ta thấy $DI, DA, DC$ đôi một vuông góc với nhau nên
$\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( D,\left( ACI \right) \right)}=\dfrac{1}{D{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}+\dfrac{4}{D{{{{D}'}}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}+\dfrac{4}{{{z}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}} \left( 3 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{y}^{2}}}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}+\dfrac{4}{{{z}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{{{y}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=a \\
& y=a \\
& z=2a \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy thể tích khối hộp là $V=xyz=a.a.2a=2{{a}^{3}}$.
A. ${{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
C. $2{{a}^{3}}$.
D. $\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và ${B}'C$ bằng $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\begin{aligned}
& AB//CD \\
& CD\subset \left( {A}'{B}'CD \right) \\
& AB\not\subset \left( {A}'{B}'CD \right) \\
\end{aligned} \\
\end{array}\Rightarrow AB//\left( {A}'{B}'CD \right)\Rightarrow d\left( AB;{B}'C \right)=d\left( AB;\left( {A}'{B}'CD \right) \right) \right.$
$=d\left( A,\left( {A}'{B}'CD \right) \right)=AH=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$, với ${H}$ là hình chiếu của ${A}$ trên ${A}'D$.
Từ $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{y}^{2}}}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}} \left( 1 \right)$
+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${A}'{D}'$ và $A{B}'$ bằng $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
Tương tự, ta chứng minh được ${A}'{D}'//\left( A{B}'{C}'D \right)$ $\Rightarrow d\left( {A}'{D}';A{B}' \right)$ $=d\left( {A}'{D}',\left( A{B}'{C}'D \right) \right)$ $={A}'K=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$ với ${K}$ là hình chiếu của ${A}'$ trên $A{B}'$.
Từ $\dfrac{1}{{A}'{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{{A}'{{{{B}'}}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}} \left( 2 \right)$
+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $B{D}'$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $\{O\}=AC\cap BD\Rightarrow O$ là trung điểm của ${B D}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $D{D}'$ thì $OI$ là đường trung bình của
$\Delta BD{D}'\Rightarrow OI//B{D}'\Rightarrow B{D}'//\left( ACI \right)$.
$\Rightarrow d\left( B{D}';AC \right)=d\left( B{D}';\left( ACI \right) \right)=d\left( {D}';\left( ACI \right) \right)=d\left( D;\left( ACI \right) \right)$.
Ta thấy $DI, DA, DC$ đôi một vuông góc với nhau nên
$\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( D,\left( ACI \right) \right)}=\dfrac{1}{D{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}+\dfrac{4}{D{{{{D}'}}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}+\dfrac{4}{{{z}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}} \left( 3 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{y}^{2}}}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}+\dfrac{4}{{{z}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{{{y}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=a \\
& y=a \\
& z=2a \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy thể tích khối hộp là $V=xyz=a.a.2a=2{{a}^{3}}$.
Đáp án C.