Cho khối hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A B = a, A D = 2 a,$ ...

The Funny · 25/5/23

Câu hỏi: Cho khối hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có

A B = a, A D = 2 a,

diện tích tam giác

C^{'} B D

bằng

\frac{\sqrt{14}}{2} a^{2}

(tham khảo hình vẽ).

Thể tích của khối hộp đã cho bằng
A.

\sqrt{14} a^{3}

.
B.

\frac{2 \sqrt{2}}{3} a^{3}

.
C.

\frac{4}{3} a^{3}

.
D.

2 \sqrt{2} a^{3}

.

Ta có

B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = \sqrt{a^{2} + 4 a^{2}} = a \sqrt{5}

Kẻ

C M ⊥ B D

tại

M

thì

\hat{C^{'} M C} = φ

là góc giữa hai mặt phẳng

(B C D)

và

(B C^{'} D)

Ta có

S_{Δ B C D} = a^{2}

;

S_{Δ B C^{'} D} = \frac{\sqrt{14}}{2} a^{2}

Mà

S_{Δ B C D} = S_{Δ B C^{'} D} cos φ \Rightarrow cos φ = \frac{S_{Δ B C D}}{S_{Δ B C^{'} D}} = \frac{2}{\sqrt{14}}

và

sin φ = \sqrt{\frac{10}{14}}

Mặt khác:

C M . B D = C D . C B \Rightarrow C M = \frac{C D . C B}{B D} = \frac{2 a}{\sqrt{5}}

C{C}'=CM .tan φ = a \sqrt{2}

Vậy Thể tích khối hộp chữ nhật là

V = B . h = A B . A D . C C^{'} = a .2 a . a \sqrt{2} = 2 a^{3} \sqrt{2}

Đáp án D.

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB=a,AD=2a,...