Google
Câu hỏi: Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $AB=a,AD=2a,$ diện tích tam giác ${C}'BD$ bằng $\dfrac{\sqrt{14}}{2}{{a}^{2}}$ (tham khảo hình vẽ).
Thể tích của khối hộp đã cho bằng
A. $\sqrt{14}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{4}{3}{{a}^{3}}$.
D. $2\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
Ta có $BD=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}$
Kẻ $CM\bot BD$ tại $M$ thì $\widehat{{C}'MC}=\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( BCD \right)$ và $\left( B{C}'D \right)$
Ta có ${{S}_{\Delta BCD}}={{a}^{2}}$ ; ${{S}_{\Delta B{C}'D}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}{{a}^{2}}$
Mà ${{S}_{\Delta BCD}}={{S}_{\Delta B{C}'D}}\text{cos}\varphi \Rightarrow \text{cos}\varphi =\dfrac{{{S}_{\Delta BCD}}}{{{S}_{\Delta B{C}'D}}}=\dfrac{2}{\sqrt{14}}$ và $\text{sin}\varphi =\sqrt{\dfrac{10}{14}}$
Mặt khác: $CM.BD=CD.CB\Rightarrow CM=\dfrac{CD.CB}{BD}=\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$
$\text{C{C}'=CM}\text{.tan}\varphi =a\sqrt{2}$
Vậy Thể tích khối hộp chữ nhật là
$V=B.h=AB.AD.C{C}'=a.2a.a\sqrt{2}=2{{a}^{3}}\sqrt{2}$
A. $\sqrt{14}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{4}{3}{{a}^{3}}$.
D. $2\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
Kẻ $CM\bot BD$ tại $M$ thì $\widehat{{C}'MC}=\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( BCD \right)$ và $\left( B{C}'D \right)$
Ta có ${{S}_{\Delta BCD}}={{a}^{2}}$ ; ${{S}_{\Delta B{C}'D}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}{{a}^{2}}$
Mà ${{S}_{\Delta BCD}}={{S}_{\Delta B{C}'D}}\text{cos}\varphi \Rightarrow \text{cos}\varphi =\dfrac{{{S}_{\Delta BCD}}}{{{S}_{\Delta B{C}'D}}}=\dfrac{2}{\sqrt{14}}$ và $\text{sin}\varphi =\sqrt{\dfrac{10}{14}}$
Mặt khác: $CM.BD=CD.CB\Rightarrow CM=\dfrac{CD.CB}{BD}=\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$
$\text{C{C}'=CM}\text{.tan}\varphi =a\sqrt{2}$
Vậy Thể tích khối hộp chữ nhật là
$V=B.h=AB.AD.C{C}'=a.2a.a\sqrt{2}=2{{a}^{3}}\sqrt{2}$
Đáp án D.