Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A{A}^{\prime }=2AB=2AD,\widehat{BAD}={90}^0,\widehat{BA{A}^{\prime }}={60}^0,\widehat{DA{A}^{\prime }}={120}^0$ và $A{C}^{\prime }=\sqrt{6}.$...

Cách 1:
Ta có đáy $ABCD$ là hình bình hành có $\widehat{BAD}={90}^0$ nên là hình chữ nhật, lại có $AB=AD$ nên $ABCD$ là hình vuông.
Đặt $AB=AD=x$ ta được $AC=x\sqrt{2}$ và $A{A}^{\prime }=2x.$
Trong hình bình hành $A^{\prime }AB{B}^{\prime }$ có $AB{{}^{\prime }}^2=x^2+4x^2-2.x.2x.\cos {120}^0=7x^2$ suy ra $D{C}^{\prime }=x\sqrt{7}.$
Ta có $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}.\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}).\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}.\overrightarrow{AD}=x.2x.\cos {120}^0=-x^2$ do vậy $\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=x^2$ từ đây ta có $x.x\sqrt{7}.\cos \widehat{AD{C}^{\prime }}=x^2\iff \cos \widehat{AD{C}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}}}.$
Trong tam giác $\mathrm{\Delta }AD{C}^{\prime }$ ta có
$A{D}^2+DC{{}^{\prime }}^2-2AD.D{C}^{\prime }.\cos \widehat{AD{C}^{\prime }}=6\iff x^2+7x^2-2.x.x\sqrt{7}\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}}}\right)=6\iff x=1.$
Từ đây ta có $AB=1,AD=1,A{A}^{\prime }=2,\widehat{BAD}={90}^0,\widehat{BA{A}^{\prime }}={60}^0,{\widehat{DAA}}^{\prime }={120}^0$ và thể tích của khối tứ diện $A^{\prime }ABD$ được tính theo công thức
$V_{A^{\prime }.ABD}={\displaystyle \frac{1}{6}}AB.AD.A{A}^{\prime }\sqrt{1+2\cos \widehat{BAD}\cos \widehat{BA{A}^{\prime }}\cos \widehat{DA{A}^{\prime }}-{\cos }^2\widehat{BAD}-{\cos }^2\widehat{BA{A}^{\prime }}-{\cos }^2\widehat{DA{A}^{\prime }}}$
$={\displaystyle \frac{1}{6}}.1.1.2.\sqrt{1+2\cos {60}^0\cos {120}^0\cos {90}^0-{\cos }^2{60}^0-{\cos }^2{120}^0-{\cos }^2{90}^0}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}}.$
Do đó thể tích của khối hộp là $V_{hop}=6V_{A^{\prime }.ABD}=\sqrt{2}.$
Cách 2:
Đặt $x=AB=AD,(x>0)$ thì $A{A}^{\prime }=2x.$ Áp dụng định lý côsin trong tam giác $AB{A}^{\prime },$ ta có
$A^{\prime }{B}^2=A{B}^2+AA{{}^{\prime }}^2-2AB.A{A}^{\prime }.\cos {60}^0=x^2+4x^2-2.x.2x.{\displaystyle \frac{1}{2}}=3x^2.$
Suy ra $AA{{}^{\prime }}^2=A{B}^2+A^{\prime }{B}^2.$ Do đó tam giác $AB{A}^{\prime }$ vuông tại $B$ hay $AB\mathrm{\perp }B{A}^{\prime }.$
Mà $AB\mathrm{\perp }BC$ (do $AB\mathrm{\perp }AD)$ nên $AB\mathrm{\perp }\left(BC{D}^{\prime }{A}^{\prime }\right).$ Vì vậy.
$V=2V_{AB{A}^{\prime }.DC{D}^{\prime }}=2.3V_{A.A^{\prime }BC}=2AB.S_{A^{\prime }BC}.$
Mặt khác, $S_{A^{\prime }BC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{B{C}^2.BA{{}^{\prime }}^2-{(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{B{A}^{\prime }})}^2}$
Mà $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}.(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}=x.2x.\cos {120}^0-0=-x^2$ nên
$S_{A^{\prime }BC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{x^2.3x^2-{(-x^2)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}{x}^2}{2}}.$
Do đó, $V=2x.{\displaystyle \frac{\sqrt{2}{x}^2}{2}}=\sqrt{2}{x}^3.$
Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}.$ Suy ra
${\overrightarrow{A{C}^{\prime }}}^2={\overrightarrow{AB}}^2+{\overrightarrow{AD}}^2+{\overrightarrow{A{A}^{\prime }}}^2+2(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}.\overrightarrow{AB})$
$\Rightarrow 6=x^2+x^2+4x^2+2(0-x.2x.{\displaystyle \frac{1}{2}}+2x.x.{\displaystyle \frac{1}{2}})\Rightarrow x=1.$
Vậy thể tích của khối hộp đã cho là $V=\sqrt{2}.$