Google
Câu hỏi: Cho khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $AA'=2AB=2AD,\widehat{BAD}={{90}^{0}},\widehat{BAA'}={{60}^{0}},\widehat{DAA'}={{120}^{0}}$ và $AC'=\sqrt{6}.$ Tính thể tích của khối hộp đã cho.
A. $V=\sqrt{2}.$
B. $V=2\sqrt{3}.$
C. $V=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
D. $V=2\sqrt{2}.$
Cách 1:
Ta có đáy $ABCD$ là hình bình hành có $\widehat{BAD}={{90}^{0}}$ nên là hình chữ nhật, lại có $AB=AD$ nên $ABCD$ là hình vuông.
Đặt $AB=AD=x$ ta được $AC=x\sqrt{2}$ và $AA'=2x.$
Trong hình bình hành $A'ABB'$ có $AB{{'}^{2}}={{x}^{2}}+4{{x}^{2}}-2.x.2x.\cos {{120}^{0}}=7{{x}^{2}}$ suy ra $DC'=x\sqrt{7}.$
Ta có $\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{AD}=\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'} \right).\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{AD}=x.2x.\cos {{120}^{0}}=-{{x}^{2}}$ do vậy $\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DC'}={{x}^{2}}$ từ đây ta có $x.x\sqrt{7}.\cos \widehat{ADC'}={{x}^{2}}\Leftrightarrow \cos \widehat{ADC'}=\dfrac{1}{\sqrt{7}}.$
Trong tam giác $\Delta ADC'$ ta có
$A{{D}^{2}}+DC{{'}^{2}}-2AD.DC'.\cos \widehat{ADC'}=6\Leftrightarrow {{x}^{2}}+7{{x}^{2}}-2.x.x\sqrt{7}\left( \dfrac{1}{\sqrt{7}} \right)=6\Leftrightarrow x=1.$
Từ đây ta có $AB=1,AD=1,AA'=2,\widehat{BAD}={{90}^{0}},\widehat{BAA'}={{60}^{0}},\widehat{DAA}'={{120}^{0}}$ và thể tích của khối tứ diện $A'ABD$ được tính theo công thức
${{V}_{A'.ABD}}=\dfrac{1}{6}AB.AD.AA'\sqrt{1+2\cos \widehat{BAD}\cos \widehat{BAA'}\cos \widehat{DAA'}-{{\cos }^{2}}\widehat{BAD}-{{\cos }^{2}}\widehat{BAA'}-{{\cos }^{2}}\widehat{DAA'}}$
$=\dfrac{1}{6}.1.1.2.\sqrt{1+2\cos {{60}^{0}}\cos {{120}^{0}}\cos {{90}^{0}}-{{\cos }^{2}}{{60}^{0}}-{{\cos }^{2}}{{120}^{0}}-{{\cos }^{2}}{{90}^{0}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}.$
Do đó thể tích của khối hộp là ${{V}_{hop}}=6{{V}_{A'.ABD}}=\sqrt{2}.$
Cách 2:
Đặt $x=AB=AD,\left( x>0 \right)$ thì $AA'=2x.$ Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ABA',$ ta có
$A'{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}+AA{{'}^{2}}-2AB.AA'.\cos {{60}^{0}}={{x}^{2}}+4{{x}^{2}}-2.x.2x.\dfrac{1}{2}=3{{x}^{2}}.$
Suy ra $AA{{'}^{2}}=A{{B}^{2}}+A'{{B}^{2}}.$ Do đó tam giác $ABA'$ vuông tại $B$ hay $AB\bot BA'.$
Mà $AB\bot BC$ (do $AB\bot AD)$ nên $AB\bot \left( BCD'A' \right).$ Vì vậy.
$V=2{{V}_{ABA'.DCD'}}=2.3{{V}_{A.A'BC}}=2AB.{{S}_{A'BC}}.$
Mặt khác, ${{S}_{A'BC}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{B{{C}^{2}}.BA{{'}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA'} \right)}^{2}}}$
Mà $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA'}=\overrightarrow{AD}.\left( \overrightarrow{AA'}-\overrightarrow{AB} \right)=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AA'}-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}=x.2x.\cos {{120}^{0}}-0=-{{x}^{2}}$ nên
${{S}_{A'BC}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{x}^{2}}.3{{x}^{2}}-{{\left( -{{x}^{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{2}{{x}^{2}}}{2}.$
Do đó, $V=2x.\dfrac{\sqrt{2}{{x}^{2}}}{2}=\sqrt{2}{{x}^{3}}.$
Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}.$ Suy ra
${{\overrightarrow{AC'}}^{2}}={{\overrightarrow{AB}}^{2}}+{{\overrightarrow{AD}}^{2}}+{{\overrightarrow{AA'}}^{2}}+2\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{AB} \right)$
$\Rightarrow 6={{x}^{2}}+{{x}^{2}}+4{{x}^{2}}+2\left( 0-x.2x.\dfrac{1}{2}+2x.x.\dfrac{1}{2} \right)\Rightarrow x=1.$
Vậy thể tích của khối hộp đã cho là $V=\sqrt{2}.$
A. $V=\sqrt{2}.$
B. $V=2\sqrt{3}.$
C. $V=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
D. $V=2\sqrt{2}.$
Cách 1:
Ta có đáy $ABCD$ là hình bình hành có $\widehat{BAD}={{90}^{0}}$ nên là hình chữ nhật, lại có $AB=AD$ nên $ABCD$ là hình vuông.
Đặt $AB=AD=x$ ta được $AC=x\sqrt{2}$ và $AA'=2x.$
Trong hình bình hành $A'ABB'$ có $AB{{'}^{2}}={{x}^{2}}+4{{x}^{2}}-2.x.2x.\cos {{120}^{0}}=7{{x}^{2}}$ suy ra $DC'=x\sqrt{7}.$
Ta có $\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{AD}=\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'} \right).\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{AD}=x.2x.\cos {{120}^{0}}=-{{x}^{2}}$ do vậy $\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DC'}={{x}^{2}}$ từ đây ta có $x.x\sqrt{7}.\cos \widehat{ADC'}={{x}^{2}}\Leftrightarrow \cos \widehat{ADC'}=\dfrac{1}{\sqrt{7}}.$
Trong tam giác $\Delta ADC'$ ta có
$A{{D}^{2}}+DC{{'}^{2}}-2AD.DC'.\cos \widehat{ADC'}=6\Leftrightarrow {{x}^{2}}+7{{x}^{2}}-2.x.x\sqrt{7}\left( \dfrac{1}{\sqrt{7}} \right)=6\Leftrightarrow x=1.$
Từ đây ta có $AB=1,AD=1,AA'=2,\widehat{BAD}={{90}^{0}},\widehat{BAA'}={{60}^{0}},\widehat{DAA}'={{120}^{0}}$ và thể tích của khối tứ diện $A'ABD$ được tính theo công thức
${{V}_{A'.ABD}}=\dfrac{1}{6}AB.AD.AA'\sqrt{1+2\cos \widehat{BAD}\cos \widehat{BAA'}\cos \widehat{DAA'}-{{\cos }^{2}}\widehat{BAD}-{{\cos }^{2}}\widehat{BAA'}-{{\cos }^{2}}\widehat{DAA'}}$
$=\dfrac{1}{6}.1.1.2.\sqrt{1+2\cos {{60}^{0}}\cos {{120}^{0}}\cos {{90}^{0}}-{{\cos }^{2}}{{60}^{0}}-{{\cos }^{2}}{{120}^{0}}-{{\cos }^{2}}{{90}^{0}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}.$
Do đó thể tích của khối hộp là ${{V}_{hop}}=6{{V}_{A'.ABD}}=\sqrt{2}.$
Cách 2:
Đặt $x=AB=AD,\left( x>0 \right)$ thì $AA'=2x.$ Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ABA',$ ta có
$A'{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}+AA{{'}^{2}}-2AB.AA'.\cos {{60}^{0}}={{x}^{2}}+4{{x}^{2}}-2.x.2x.\dfrac{1}{2}=3{{x}^{2}}.$
Suy ra $AA{{'}^{2}}=A{{B}^{2}}+A'{{B}^{2}}.$ Do đó tam giác $ABA'$ vuông tại $B$ hay $AB\bot BA'.$
Mà $AB\bot BC$ (do $AB\bot AD)$ nên $AB\bot \left( BCD'A' \right).$ Vì vậy.
$V=2{{V}_{ABA'.DCD'}}=2.3{{V}_{A.A'BC}}=2AB.{{S}_{A'BC}}.$
Mặt khác, ${{S}_{A'BC}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{B{{C}^{2}}.BA{{'}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA'} \right)}^{2}}}$
Mà $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA'}=\overrightarrow{AD}.\left( \overrightarrow{AA'}-\overrightarrow{AB} \right)=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AA'}-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}=x.2x.\cos {{120}^{0}}-0=-{{x}^{2}}$ nên
${{S}_{A'BC}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{x}^{2}}.3{{x}^{2}}-{{\left( -{{x}^{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{2}{{x}^{2}}}{2}.$
Do đó, $V=2x.\dfrac{\sqrt{2}{{x}^{2}}}{2}=\sqrt{2}{{x}^{3}}.$
Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}.$ Suy ra
${{\overrightarrow{AC'}}^{2}}={{\overrightarrow{AB}}^{2}}+{{\overrightarrow{AD}}^{2}}+{{\overrightarrow{AA'}}^{2}}+2\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{AB} \right)$
$\Rightarrow 6={{x}^{2}}+{{x}^{2}}+4{{x}^{2}}+2\left( 0-x.2x.\dfrac{1}{2}+2x.x.\dfrac{1}{2} \right)\Rightarrow x=1.$
Vậy thể tích của khối hộp đã cho là $V=\sqrt{2}.$
Đáp án A.