Google
Câu hỏi: Cho khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $M$ là trung điểm của ${A}'{B}'$. Mặt phẳng $\left( ACM \right)$ chia khối hộp đã cho thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần đó bằng
A. $\dfrac{7}{17}$.
B. $\dfrac{5}{17}$.
C. $\dfrac{7}{24}$.
D. $\dfrac{7}{12}$.
Gọi $N$ là trung điểm của ${B}'{C}'$ mà $M$ là trung điểm của ${A}'{B}'$
Suy ra $MN$ là đường trung bình của ${A}'{C}'$ ${A}'{B}'{C}'\Rightarrow MN//{A}'{C}'$
Lại có $AC//{A}'{C}'\xrightarrow[{}]{{}}MN\text{//}AC\Rightarrow \left( ACM \right)$ cắt khối hộp tại $N$.
Ta có ${{V}_{{B}'MN.BAC}}=\dfrac{1}{3}B{B}'.\left( {{S}_{\Delta ABC}}+{{S}_{\Delta {B}'MN}}+\sqrt{{{S}_{\Delta ABC}}.{{S}_{\Delta {B}'MN}}} \right)$
Mà ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABCD}};{{S}_{\Delta {B}'MN}}=\dfrac{1}{8}{{S}_{ABCD}}$
$\Rightarrow \sqrt{{{S}_{\Delta ABC}}.{{S}_{\Delta {B}'MN}}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ABCD}}$
$\Rightarrow {{V}_{{B}'MN.BAC}}=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4} \right)B{B}'.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{7}{24}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$.
Vậy tỉ số cần tìm là $\dfrac{7}{17}$.
A. $\dfrac{7}{17}$.
B. $\dfrac{5}{17}$.
C. $\dfrac{7}{24}$.
D. $\dfrac{7}{12}$.
Gọi $N$ là trung điểm của ${B}'{C}'$ mà $M$ là trung điểm của ${A}'{B}'$
Suy ra $MN$ là đường trung bình của ${A}'{C}'$ ${A}'{B}'{C}'\Rightarrow MN//{A}'{C}'$
Lại có $AC//{A}'{C}'\xrightarrow[{}]{{}}MN\text{//}AC\Rightarrow \left( ACM \right)$ cắt khối hộp tại $N$.
Ta có ${{V}_{{B}'MN.BAC}}=\dfrac{1}{3}B{B}'.\left( {{S}_{\Delta ABC}}+{{S}_{\Delta {B}'MN}}+\sqrt{{{S}_{\Delta ABC}}.{{S}_{\Delta {B}'MN}}} \right)$
Mà ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABCD}};{{S}_{\Delta {B}'MN}}=\dfrac{1}{8}{{S}_{ABCD}}$
$\Rightarrow \sqrt{{{S}_{\Delta ABC}}.{{S}_{\Delta {B}'MN}}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ABCD}}$
$\Rightarrow {{V}_{{B}'MN.BAC}}=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4} \right)B{B}'.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{7}{24}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$.
Vậy tỉ số cần tìm là $\dfrac{7}{17}$.
Đáp án A.