Google
Câu hỏi: Cho khối đa diện tám mặt đều (bát diện đều) có thể tích bằng V. Gọi ${V}'$ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tám mặt đều đã cho. Tính tỉ số $\dfrac{{{V}'}}{V}.$
A. $\dfrac{1}{3}.$
B. $\dfrac{2}{3}.$
C. $\dfrac{1}{9}.$
D. $\dfrac{2}{9}.$
Gọi $SABCD{S}'$ là khối đa diện đều cạnh a.
Khi đó: ${{V}_{SABCD{S}'}}=\dfrac{1}{3}S{S}'.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a.\sqrt{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
Khối đa diện có các đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tám mặt đều $SABCD{S}'$ là hình lập phương có cạnh MN (như hình vẽ bên).
Gọi I là trung điểm của CD.
Khi đó: $\dfrac{MN}{S{S}'}=\dfrac{IM}{IS}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow MN=\dfrac{1}{3}S{S}'=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
Khi đó thể tích hình lập phương:
${V}'={{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{27}.$ Suy ra $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{27}}{\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}}=\dfrac{2}{9}$
Chú ý: Khối bát diện đều cạnh a có thể tích: $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
A. $\dfrac{1}{3}.$
B. $\dfrac{2}{3}.$
C. $\dfrac{1}{9}.$
D. $\dfrac{2}{9}.$
Gọi $SABCD{S}'$ là khối đa diện đều cạnh a.
Khi đó: ${{V}_{SABCD{S}'}}=\dfrac{1}{3}S{S}'.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a.\sqrt{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
Khối đa diện có các đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tám mặt đều $SABCD{S}'$ là hình lập phương có cạnh MN (như hình vẽ bên).
Gọi I là trung điểm của CD.
Khi đó: $\dfrac{MN}{S{S}'}=\dfrac{IM}{IS}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow MN=\dfrac{1}{3}S{S}'=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
Khi đó thể tích hình lập phương:
${V}'={{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{27}.$ Suy ra $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{27}}{\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}}=\dfrac{2}{9}$
Chú ý: Khối bát diện đều cạnh a có thể tích: $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
Đáp án D.