Google
Câu hỏi: Cho khối chóp tứ giác ${S.ABCD}$ có đáy ${ABCD}$ là hình thoi và ${S.ABC}$ là tứ diện đều cạnh ${a}$. Thể tích ${V}$ của khối chóp ${S.ABCD}$ là
A. ${V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}}$.
B. ${V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}}$.
C. ${V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}}$.
D. ${V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}}$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD). Vì S.ABC là tứ diện đều nên H là trọng tâm $\Delta $ ABC.
Ta có $SH=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{2}{3}.a\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Diện tích hình thoi ABCD là SABCD = 2.SABC = $2.{{a}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}$
Do đó ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$
A. ${V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}}$.
B. ${V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}}$.
C. ${V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}}$.
D. ${V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}}$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD). Vì S.ABC là tứ diện đều nên H là trọng tâm $\Delta $ ABC.
Ta có $SH=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{2}{3}.a\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Diện tích hình thoi ABCD là SABCD = 2.SABC = $2.{{a}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}$
Do đó ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$
Đáp án A.