Google
Câu hỏi: Cho khối chóp tam giác đều ${S.ABC}$ có ${SA = a}$, ${AB = a\sqrt 2 }$. Tính thể tích khối chóp ${S.ABC}$
A. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}}$.
B. ${\dfrac{{{a^3}}}{6}}$.
C. ${{a^3}}$.
D. ${\dfrac{{{a^3}}}{3}}$.
Gọi Mlà trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác đều ABC, ta có $SG\bot \left( ABC \right)$
$AM=\dfrac{\left( a\sqrt{2} \right).\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2},AG=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$,diện tích tam giác ABC là
${{S}_{ABC}}=\dfrac{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
Trong tam giác vuông GSA vuông tại G có $SG=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{G}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SG.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
A. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}}$.
B. ${\dfrac{{{a^3}}}{6}}$.
C. ${{a^3}}$.
D. ${\dfrac{{{a^3}}}{3}}$.
Gọi Mlà trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác đều ABC, ta có $SG\bot \left( ABC \right)$
$AM=\dfrac{\left( a\sqrt{2} \right).\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2},AG=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$,diện tích tam giác ABC là
${{S}_{ABC}}=\dfrac{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
Trong tam giác vuông GSA vuông tại G có $SG=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{G}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SG.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
Đáp án B.