Google
Câu hỏi: Cho khối chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bẳng $a$ và cạnh bên bằng $2a$. Thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$ là
A. $V=\dfrac{\sqrt{13}{{a}^{3}}}{12}$
B. $V=\dfrac{\sqrt{11}{{a}^{3}}}{12}$
C. $V=\dfrac{\sqrt{11}{{a}^{3}}}{6}$
D. $V=\dfrac{\sqrt{11}{{a}^{3}}}{4}$
Do đáy là tam giác đều nên gọi $I$ là trung điểm cạnh $BC$, khi đó $AI$ là đường cao của tam giác đáy
Theo định lý pitago ta có $AI=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, và $AO=\dfrac{2}{3}AI=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3.2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Trong tam giác $SOA$ vuông tại $O$ ta có
$SO=\sqrt{4{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{\sqrt{11}a}{\sqrt{3}}$
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}a\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{11}a}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{11}{{a}^{3}}}{12}$
A. $V=\dfrac{\sqrt{13}{{a}^{3}}}{12}$
B. $V=\dfrac{\sqrt{11}{{a}^{3}}}{12}$
C. $V=\dfrac{\sqrt{11}{{a}^{3}}}{6}$
D. $V=\dfrac{\sqrt{11}{{a}^{3}}}{4}$
Do đáy là tam giác đều nên gọi $I$ là trung điểm cạnh $BC$, khi đó $AI$ là đường cao của tam giác đáy
Theo định lý pitago ta có $AI=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, và $AO=\dfrac{2}{3}AI=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3.2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Trong tam giác $SOA$ vuông tại $O$ ta có
$SO=\sqrt{4{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{\sqrt{11}a}{\sqrt{3}}$
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}a\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{11}a}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{11}{{a}^{3}}}{12}$
Đáp án B.