Google
Câu hỏi: Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh $\dfrac{a}{\sqrt{2}},\Delta SAC$ vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc ${{60}^{o}}$. Tính thể tích V của khối chóp SABCD.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{24}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}.$
Gọi H là hình chiếu của S trên AC.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\bigcap \left( ABCD \right)=AC \\
& \left( SAC \right)\supset SH\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Ta có: $\angle \left( SA,\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SA,AH \right)=\angle \left( SA,AC \right)=\angle SAC$
Ta có: $AC=AB\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}=a$
Xét $\Delta SAC$ vuông tại S ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& SA=AC.cos{{60}^{o}}=\dfrac{a}{2} \\
& SC=AC.\sin {{60}^{o}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta SAC$ vuông tại S và có đường cao SH ta có:
$SH=\dfrac{SA.SC}{AC}=\dfrac{\dfrac{a}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
$\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{24}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}.$
Gọi H là hình chiếu của S trên AC.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\bigcap \left( ABCD \right)=AC \\
& \left( SAC \right)\supset SH\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Ta có: $\angle \left( SA,\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SA,AH \right)=\angle \left( SA,AC \right)=\angle SAC$
Ta có: $AC=AB\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}=a$
Xét $\Delta SAC$ vuông tại S ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& SA=AC.cos{{60}^{o}}=\dfrac{a}{2} \\
& SC=AC.\sin {{60}^{o}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta SAC$ vuông tại S và có đường cao SH ta có:
$SH=\dfrac{SA.SC}{AC}=\dfrac{\dfrac{a}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
$\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$
Đáp án A.