Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $SABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=a;$ $\widehat{SBA}=\widehat{CSA}=90{}^\circ $. Gọi $O$ là trung điểm của $BC$. Biết góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $OA$ bằng $60{}^\circ $. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $AO$
Ta có $\Delta SAC=\Delta SAB$ nên $SC=SB$ $\Rightarrow BC\bot SO$ mà $BC\bot AO$, suy ra $BC\bot \left( SAO \right)$
Vậy có $SH\bot BC;SH\bot AO\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$
Mặt khác, $AB\bot SB;AB\bot SH\Rightarrow AB\bot HB$. Tương tự có $AC\bot HC$ hay $HCAB$ là hình vuông cạnh $a$
Giả sử $SH=x$. Gọi $M$ là trung điểm $SC$ nên $OM/ /SB$
Ta có $\left( SB,AO \right)=\left( OM,AO \right)=60{}^\circ $
$\cos 60{}^\circ =\dfrac{\left| O{{A}^{2}}+O{{M}^{2}}-M{{A}^{2}} \right|}{2OA.OM}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{\left| \dfrac{2{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}{4}-\dfrac{5{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}{4} \right|}{2.\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)\left( \dfrac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}} \right)}$ $\Leftrightarrow a\sqrt{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a$.
Thể tích khối chóp $SABC$ là $V=\dfrac{1}{2}{{V}_{SHCAB}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{3}a.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $AO$
Ta có $\Delta SAC=\Delta SAB$ nên $SC=SB$ $\Rightarrow BC\bot SO$ mà $BC\bot AO$, suy ra $BC\bot \left( SAO \right)$
Vậy có $SH\bot BC;SH\bot AO\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$
Mặt khác, $AB\bot SB;AB\bot SH\Rightarrow AB\bot HB$. Tương tự có $AC\bot HC$ hay $HCAB$ là hình vuông cạnh $a$
Giả sử $SH=x$. Gọi $M$ là trung điểm $SC$ nên $OM/ /SB$
Ta có $\left( SB,AO \right)=\left( OM,AO \right)=60{}^\circ $
$\cos 60{}^\circ =\dfrac{\left| O{{A}^{2}}+O{{M}^{2}}-M{{A}^{2}} \right|}{2OA.OM}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{\left| \dfrac{2{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}{4}-\dfrac{5{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}{4} \right|}{2.\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)\left( \dfrac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}} \right)}$ $\Leftrightarrow a\sqrt{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a$.
Thể tích khối chóp $SABC$ là $V=\dfrac{1}{2}{{V}_{SHCAB}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{3}a.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
Đáp án B.