Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$, đáy ${A B C D}$ là hình thang cân $\left(AB\text{//}CD,AB<CD\right)$ có hai đường chéo ${A
C, B D} $ vuông góc và cắt nhau tại $ {O, A B=2 a \sqrt{2}=\dfrac{1}{2} C D} $. Biết $ {S O} $ vuông góc với đáy, hai mặt phẳng $ {\left(S A B\right)} $ và $ {\left(S C D\right)} $ vuông góc với nhau. Tính thể tích $ {V} $ của khối chóp $ {S . O C D} $ theo $ {a}$.
A. ${V=\dfrac{8}{3} a^3}$.
B. ${V=16 a^3}$.
C. ${V=\dfrac{16}{3} a^3}$.
D. ${V=12 a^3}$.
Ta có $\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=\Delta $ với $\Delta \text{//}AB\text{//}CD$ và $S\in \Delta $.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB$ và $CD$, khi đó $\Delta \bot \left( MSN \right)$.
Suy ra $\left( \widehat{\left( SAB \right),\left( SCD \right)} \right)=\left( \widehat{SM,SN} \right)=\widehat{MSN}=90{}^\circ $.
Xét $\Delta SMN$ vuông tại $S$ có $S{{O}^{2}}=ON.OM=\dfrac{1}{2}CD.\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}A{{B}^{2}}\Rightarrow SO=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}$.
Vậy ${{V}_{S.OCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{OCD}}.SO=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}{{\left( \dfrac{CD}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}.\dfrac{AB}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{6}.{{\left( \dfrac{4a\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}.\dfrac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{16a}{3}$.
C, B D} $ vuông góc và cắt nhau tại $ {O, A B=2 a \sqrt{2}=\dfrac{1}{2} C D} $. Biết $ {S O} $ vuông góc với đáy, hai mặt phẳng $ {\left(S A B\right)} $ và $ {\left(S C D\right)} $ vuông góc với nhau. Tính thể tích $ {V} $ của khối chóp $ {S . O C D} $ theo $ {a}$.
A. ${V=\dfrac{8}{3} a^3}$.
B. ${V=16 a^3}$.
C. ${V=\dfrac{16}{3} a^3}$.
D. ${V=12 a^3}$.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB$ và $CD$, khi đó $\Delta \bot \left( MSN \right)$.
Suy ra $\left( \widehat{\left( SAB \right),\left( SCD \right)} \right)=\left( \widehat{SM,SN} \right)=\widehat{MSN}=90{}^\circ $.
Xét $\Delta SMN$ vuông tại $S$ có $S{{O}^{2}}=ON.OM=\dfrac{1}{2}CD.\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}A{{B}^{2}}\Rightarrow SO=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}$.
Vậy ${{V}_{S.OCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{OCD}}.SO=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}{{\left( \dfrac{CD}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}.\dfrac{AB}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{6}.{{\left( \dfrac{4a\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}.\dfrac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{16a}{3}$.
Đáp án C.