Google
Câu hỏi: Cho khối chóp ${S.ABCD}$ có đáy là hình vuông. Mặt bên ${SAB}$ là tam giác đều cạnh ${a}$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ sau). Gọi ${M}$, ${N}$ lần lượt là trung điểm của ${SA}$, ${SD}$. Tính thể tích khối tứ diện ${DMBN}$.
A. ${\dfrac{{{a^3}}}{3}}$.
B. ${\dfrac{{{a^3}.\sqrt 3 }}{{24}}}$.
C. ${\dfrac{{{a^3}.\sqrt 3 }}{{48}}}$.
D. ${\dfrac{{{a^3}.\sqrt 3 }}{{16}}}$.
• Theo giá thiết ;$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right) \\
& Trong \left( SAB \right);SH\bot AB \\
\end{aligned} \right.$ với H là trung điểm AB.
$.\left\{ \begin{aligned}
& AD\bot AB \\
& AD\cap SH \\
& AB\cap SH=H \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AD\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \left( SAD \right)\bot \left( SAB \right)$
$.\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAD \right)\bot \left( SAB \right) \\
& \left( SAD \right)\cap \left( SAB \right)=SA \\
& Trong\left( SAB \right);BM\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BM\bot \left( SAD \right)$
$.{{V}_{B.MND}}=\dfrac{1}{2}.{{V}_{B.MSD}}=\dfrac{1}{4}.{{V}_{B.SAD}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}.{{S}_{SAD}}.BM\left( 1 \right)$
$.\left\{ \begin{aligned}
& AD\bot BM \\
& AD\bot AB \\
& BM\cap AB=B \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AD\bot \left( SAB \right)\Rightarrow AD\bot SA\Rightarrow {{S}_{SAD}}=\dfrac{1}{2}SA.AD=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}\left( 2 \right)$
$.\left( 1 \right)\left( 2 \right);{{V}_{B.MND}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}.\sqrt{3}}{48}$ (đvtt)
A. ${\dfrac{{{a^3}}}{3}}$.
B. ${\dfrac{{{a^3}.\sqrt 3 }}{{24}}}$.
C. ${\dfrac{{{a^3}.\sqrt 3 }}{{48}}}$.
D. ${\dfrac{{{a^3}.\sqrt 3 }}{{16}}}$.
• Theo giá thiết ;$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right) \\
& Trong \left( SAB \right);SH\bot AB \\
\end{aligned} \right.$ với H là trung điểm AB.
$.\left\{ \begin{aligned}
& AD\bot AB \\
& AD\cap SH \\
& AB\cap SH=H \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AD\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \left( SAD \right)\bot \left( SAB \right)$
$.\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAD \right)\bot \left( SAB \right) \\
& \left( SAD \right)\cap \left( SAB \right)=SA \\
& Trong\left( SAB \right);BM\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BM\bot \left( SAD \right)$
$.{{V}_{B.MND}}=\dfrac{1}{2}.{{V}_{B.MSD}}=\dfrac{1}{4}.{{V}_{B.SAD}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}.{{S}_{SAD}}.BM\left( 1 \right)$
$.\left\{ \begin{aligned}
& AD\bot BM \\
& AD\bot AB \\
& BM\cap AB=B \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AD\bot \left( SAB \right)\Rightarrow AD\bot SA\Rightarrow {{S}_{SAD}}=\dfrac{1}{2}SA.AD=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}\left( 2 \right)$
$.\left( 1 \right)\left( 2 \right);{{V}_{B.MND}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}.\sqrt{3}}{48}$ (đvtt)
Đáp án C.