Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a.SA=SB,SC=SD.$ Biết $\left( SAB \right)\bot \left( SCD \right)$ và tổng diện tích của hai tam giác $SAB,SCD$ bằng $\dfrac{7{{a}^{2}}}{10}.$ Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD.$
A. $V=\dfrac{4{{a}^{3}}}{75}.$
B. $V=\dfrac{4{{a}^{3}}}{15}.$
C. $V=\dfrac{4{{a}^{3}}}{25}.$
D. $V=\dfrac{12{{a}^{3}}}{25}.$
A. $V=\dfrac{4{{a}^{3}}}{75}.$
B. $V=\dfrac{4{{a}^{3}}}{15}.$
C. $V=\dfrac{4{{a}^{3}}}{25}.$
D. $V=\dfrac{12{{a}^{3}}}{25}.$
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$.
Có $SM\bot AB,SN\bot CD\Rightarrow \left( SMN \right)\bot \left( ABCD \right)$
Hạ $SH\bot MN\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right),\widehat{MSN}=90{}^\circ =\left( \widehat{\left( SAB \right),\left( SCD \right)} \right)$
$\Rightarrow h=SH=\dfrac{SM.SN}{MN}.$
Ta có $\dfrac{7}{10}{{a}^{2}}={{S}_{\Delta SAB}}+{{S}_{\Delta SCD}}=\dfrac{1}{2}\left( AB.SM+CD.SN \right)$
$=\dfrac{a}{2}\left( SM+SN \right)$
$\Rightarrow SM+SN=\dfrac{7}{5}a.$
Lại có $S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}={{a}^{2}}\Rightarrow SM.SN=\dfrac{{{\left( SM+SN \right)}^{2}}-\left( S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}} \right)}{2}=\dfrac{12}{25}{{a}^{2}}$
$\Rightarrow SH=\dfrac{12}{25}a\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}Sh=\dfrac{4}{25}{{a}^{3}}.$
Có $SM\bot AB,SN\bot CD\Rightarrow \left( SMN \right)\bot \left( ABCD \right)$
Hạ $SH\bot MN\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right),\widehat{MSN}=90{}^\circ =\left( \widehat{\left( SAB \right),\left( SCD \right)} \right)$
$\Rightarrow h=SH=\dfrac{SM.SN}{MN}.$
Ta có $\dfrac{7}{10}{{a}^{2}}={{S}_{\Delta SAB}}+{{S}_{\Delta SCD}}=\dfrac{1}{2}\left( AB.SM+CD.SN \right)$
$=\dfrac{a}{2}\left( SM+SN \right)$
$\Rightarrow SM+SN=\dfrac{7}{5}a.$
Lại có $S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}={{a}^{2}}\Rightarrow SM.SN=\dfrac{{{\left( SM+SN \right)}^{2}}-\left( S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}} \right)}{2}=\dfrac{12}{25}{{a}^{2}}$
$\Rightarrow SH=\dfrac{12}{25}a\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}Sh=\dfrac{4}{25}{{a}^{3}}.$
Đáp án C.