Google
Câu hỏi: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAC \right)$ cùng vuông góc với đáy. Biết rằng $\left( SBC \right)$ tạo với đáy một góc $45{}^\circ .$ Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp là:
A. $\dfrac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$
B. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
Hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAC \right)$ cùng vuông góc với đáy nên giao tuyến $SA\bot \left( ABCD \right).$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot BC \\
& SA\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SBA \right)$
$\Rightarrow \left( \widehat{\left( SBC \right);\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SBA}$
$\Rightarrow \widehat{SBA}=45{}^\circ \Rightarrow SA=AB=a.$
Đáy ABCD là hình vuông nên: ${{R}_{d}}=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow {{R}_{S.ABCD}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{SA}{2} \right)}^{2}}+R_{d}^{2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Thể tích khối cầu là: ${{V}_{\left( C \right)}}=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
A. $\dfrac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$
B. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
Hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAC \right)$ cùng vuông góc với đáy nên giao tuyến $SA\bot \left( ABCD \right).$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot BC \\
& SA\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SBA \right)$
$\Rightarrow \left( \widehat{\left( SBC \right);\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SBA}$
$\Rightarrow \widehat{SBA}=45{}^\circ \Rightarrow SA=AB=a.$
Đáy ABCD là hình vuông nên: ${{R}_{d}}=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow {{R}_{S.ABCD}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{SA}{2} \right)}^{2}}+R_{d}^{2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Thể tích khối cầu là: ${{V}_{\left( C \right)}}=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
Đáp án A.