Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng

(S A B)

và

(S A C)

cùng vuông góc với đáy. Biết rằng

(S B C)

tạo với đáy một góc

45^{\circ} .

Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp là:
A.

\frac{π a^{2} \sqrt{3}}{2} .

B.

\frac{4 π a^{3} \sqrt{3}}{3} .

C.

\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{3} .

D.

\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{6} .

Hai mặt phẳng

(S A B)

và

(S A C)

cùng vuông góc với đáy nên giao tuyến

S A ⊥ (A B C D) .

Do

{\begin{aligned} A B ⊥ B C \\ S A ⊥ B C \end{aligned} \Rightarrow B C ⊥ (S B A)

\Rightarrow (\hat{(S B C); (A B C)}) = \hat{S B A}

\Rightarrow \hat{S B A} = 45^{\circ} \Rightarrow S A = A B = a .

Đáy ABCD là hình vuông nên:

R_{d} = \frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}

\Rightarrow R_{S . A B C D} = \sqrt{{(\frac{S A}{2})}^{2} + R_{d}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .

Thể tích khối cầu là:

V_{(C)} = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{π a^{3} \sqrt{3}}{2} .

Đáp án A.