Google
Câu hỏi: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $\widehat{ABC}=60{}^\circ $. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là trung điểm của cạnh AB. Góc giữa mặt phẳng $\left( SCD \right)$ và mặt đáy bằng 45°. Thể tích khối chóp đã cho bằng:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
Gọi H là trung điểm của AB $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$ .
Tam giác ABC đều nên $CH\bot AB$, mà $CD//AB\Rightarrow CH\bot CD$, $\left( 1 \right)$.
Ta có $CD=\left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right)$, $\left( 2 \right)$.
Và $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot CH \\
& CD\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot SC $, $ \left( 3 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ suy ra $\left( \widehat{\left( SCD \right);\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SC;CH} \right)=\widehat{SCH}=45{}^\circ $.
Trong tam giác SCH có $SH=HC=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{\Delta ABC}}=2.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
Gọi H là trung điểm của AB $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$ .
Tam giác ABC đều nên $CH\bot AB$, mà $CD//AB\Rightarrow CH\bot CD$, $\left( 1 \right)$.
Ta có $CD=\left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right)$, $\left( 2 \right)$.
Và $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot CH \\
& CD\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot SC $, $ \left( 3 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ suy ra $\left( \widehat{\left( SCD \right);\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SC;CH} \right)=\widehat{SCH}=45{}^\circ $.
Trong tam giác SCH có $SH=HC=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{\Delta ABC}}=2.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Đáp án A.