Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}={{60}^{0}}$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là trung điểm của cạnh $AB$. Góc giữa mặt phẳng $\left( SCD \right)$ và mặt đáy bằng ${{45}^{0}}$. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Tam giác $ABC$ đều nên $CH\bot AB$, mà $CD//AB\Rightarrow CH\bot CD \left( 1 \right)$.
Có $CD=\left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right) \left( 2 \right)$
Có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot CH \\
& CD\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot SC \left( 3 \right)$
Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{\left( \left( SCD \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC;CH \right)}=\widehat{SCH}=45{}^\circ $.
Trong tam giác $SCH$ có $SH=HC=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{\vartriangle ABC}}=2.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Tam giác $ABC$ đều nên $CH\bot AB$, mà $CD//AB\Rightarrow CH\bot CD \left( 1 \right)$.
Có $CD=\left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right) \left( 2 \right)$
Có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot CH \\
& CD\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot SC \left( 3 \right)$
Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{\left( \left( SCD \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC;CH \right)}=\widehat{SCH}=45{}^\circ $.
Trong tam giác $SCH$ có $SH=HC=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{\vartriangle ABC}}=2.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Đáp án A.