Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $2a$, $\widehat{ABC}=60{}^\circ $, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên $\left( SCD \right)$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $3{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
C. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
D. $2{{a}^{3}}.$
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Khi đó, tứ giác $AMCN$ là hình chữ nhật.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AN \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot SN\Rightarrow \left( \widehat{\left( SCD \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SN,AN} \right)=\widehat{SNA}=60{}^\circ $.
Xét tam giác có $AB=BC,\widehat{ABC}=60{}^\circ \Rightarrow $ tam giác $ABC$ đều $\Rightarrow MC=2a\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Do đó, $AN=a\sqrt{3}\Rightarrow SA=AN.\tan 60{}^\circ =3a.$
Lại có, ${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{\Delta ABC}}=2.{{\left( 2a \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=2{{a}^{2}}.\sqrt{3}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}.2{{a}^{2}}\sqrt{3}.3a=2{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
A. $3{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
C. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
D. $2{{a}^{3}}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AN \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot SN\Rightarrow \left( \widehat{\left( SCD \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SN,AN} \right)=\widehat{SNA}=60{}^\circ $.
Xét tam giác có $AB=BC,\widehat{ABC}=60{}^\circ \Rightarrow $ tam giác $ABC$ đều $\Rightarrow MC=2a\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Do đó, $AN=a\sqrt{3}\Rightarrow SA=AN.\tan 60{}^\circ =3a.$
Lại có, ${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{\Delta ABC}}=2.{{\left( 2a \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=2{{a}^{2}}.\sqrt{3}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}.2{{a}^{2}}\sqrt{3}.3a=2{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Đáp án B.