Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $2a,\angle ABC={{60}^{0}},$ cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên $\left( SCD \right)$ tạo với đáy một góc ${{60}^{0}}.$ Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$
B. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$
C. $2{{a}^{3}}$
D. $3{{a}^{3}}\sqrt{3}$
A. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$
B. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$
C. $2{{a}^{3}}$
D. $3{{a}^{3}}\sqrt{3}$
Cách giải:
Gọi $M$ là trung điểm của $CD.$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& AD=CD=2a \\
& \angle ADC={{60}^{0}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta ACD $ đều cạnh $ 2a\Rightarrow AM\bot CD $ và $ AM=\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AM \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAM \right)\Rightarrow CD\bot SM.$
Có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right)=CD \\
& SM\subset \left( SCD \right),SM\bot CD \\
& AM\subset \left( ABCD \right),AM\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SCD \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SM;AM \right)=\angle SMA={{60}^{0}}.$
Xét tam giác vuông $SAM$ có $SA=AM.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}.\sqrt{3}=3a.$
Tam giác $ABC$ có $\left\{ \begin{aligned}
& AB=BC=2a \\
& \angle ABC={{60}^{0}} \\
\end{aligned} \right. $ nên $ \Delta ABC $ đều cạnh $ 2a\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}={{a}^{2}}\sqrt{3}.$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.3a.{{a}^{2}}\sqrt{3}={{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Gọi $M$ là trung điểm của $CD.$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& AD=CD=2a \\
& \angle ADC={{60}^{0}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta ACD $ đều cạnh $ 2a\Rightarrow AM\bot CD $ và $ AM=\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AM \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAM \right)\Rightarrow CD\bot SM.$
Có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right)=CD \\
& SM\subset \left( SCD \right),SM\bot CD \\
& AM\subset \left( ABCD \right),AM\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SCD \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SM;AM \right)=\angle SMA={{60}^{0}}.$
Xét tam giác vuông $SAM$ có $SA=AM.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}.\sqrt{3}=3a.$
Tam giác $ABC$ có $\left\{ \begin{aligned}
& AB=BC=2a \\
& \angle ABC={{60}^{0}} \\
\end{aligned} \right. $ nên $ \Delta ABC $ đều cạnh $ 2a\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}={{a}^{2}}\sqrt{3}.$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.3a.{{a}^{2}}\sqrt{3}={{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Đáp án B.