Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$, $N$ là hai điểm nằm trên hai cạnh $SC$, $SD$ sao cho $\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{SN}{ND}=2$, biết $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$. Tính tỉ số thể tích $\dfrac{{{V}_{G.MND}}}{{{V}_{S.ABCD}}}$.
A. $\dfrac{1}{16}$.
B. $\dfrac{1}{18}$.
C. $\dfrac{1}{20}$.
D. $\dfrac{1}{12}$.
A. $\dfrac{1}{16}$.
B. $\dfrac{1}{18}$.
C. $\dfrac{1}{20}$.
D. $\dfrac{1}{12}$.
Gọi $E$ là trung điểm cạnh $AB$ ; $\dfrac{SN}{ND}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{SN}{SD}=\dfrac{2}{3}$.
Ta có: ${{S}_{\Delta ECD}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABCD}}$ nên ${{V}_{S.ECD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}$.
Lại có: ${{V}_{D.MNG}}=\dfrac{ND}{SN}.{{V}_{S.MNG}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.MNG}}$ ; khi đó
${{V}_{S.MNG}}=\dfrac{SG}{SE}.\dfrac{SM}{SC}.\dfrac{SN}{SD}.{{V}_{S.CDE}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{9}{{V}_{S.ABCD}}$ nên ${{V}_{D.MNG}}=\dfrac{1}{18}{{V}_{S.ABCD}}$.
Do vậy $\dfrac{{{V}_{G.MND}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{1}{18}$.
Lại có: ${{V}_{D.MNG}}=\dfrac{ND}{SN}.{{V}_{S.MNG}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.MNG}}$ ; khi đó
${{V}_{S.MNG}}=\dfrac{SG}{SE}.\dfrac{SM}{SC}.\dfrac{SN}{SD}.{{V}_{S.CDE}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{9}{{V}_{S.ABCD}}$ nên ${{V}_{D.MNG}}=\dfrac{1}{18}{{V}_{S.ABCD}}$.
Do vậy $\dfrac{{{V}_{G.MND}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{1}{18}$.
Đáp án B.