Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, có thể tích bằng $24c{{m}^{3}}.$ Gọi $E$ là trung điểm $SC.$ Một mặt phẳng chứa $AE$ cắt các cạnh $SB$ và $SD$ lần lượt tại $M$ và $N.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp $S.AMEN$.
A. $9c{{m}^{3}}$
B. $8c{{m}^{3}}$
C. $6c{{m}^{3}}$
D. $7c{{m}^{3}}$
Mặt đáy $\left( ABCD \right)$ là hình bình hành $\Rightarrow \Delta ADC$ và $\Delta ABC$ có cùng diện tích
$\Rightarrow {{V}_{S.ADC}}={{V}_{S.ABC}}$ (hai khối chóp có cùng chiều cao và có diện tích mặt đáy bằng nhau).
Mà ${{V}_{S.ABCD}}={{V}_{S.ADC}}+{{V}_{S.ABC}}=24c{{m}^{3}}\Rightarrow {{V}_{S.ADC}}={{V}_{S.ABC}}=\dfrac{{{V}_{S.ABCD}}}{2}=\dfrac{24}{2}=12\left( c{{m}^{3}} \right).$
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD;I$ là giao điểm của $SO$ và $AE\Rightarrow I$ là trọng tâm của $\Delta SAC$ và $I$ thuộc $MN.$ Gọi $\dfrac{SM}{SB}=a$ và $\dfrac{SN}{SD}=b\left( a>0;b>0 \right).$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{S.ANE}}}{{{V}_{S.ADC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SN}{SD}.\dfrac{SE}{SC}=1.b.\dfrac{1}{2}=\dfrac{b}{2}$ và $\dfrac{{{V}_{S.AME}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SE}{SC}=1.a.\dfrac{1}{2}=\dfrac{a}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.ANE}}}{12}=\dfrac{b}{2}$ và $\dfrac{{{V}_{S.AME}}}{12}=\dfrac{a}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ANE}}=6b\left( c{{m}^{3}} \right)$ và ${{V}_{S.AME}}=6a\left( c{{m}^{3}} \right).$
Do đó: ${{V}_{S.AMEN}}={{V}_{S.AME}}+{{V}_{S.ANE}}=6a+6b=6\left( a+b \right)\left( c{{m}^{3}} \right).$
Mặt khác: $\Delta ISM$ và $\Delta ISB$ có chung chiều cao kẻ từ $I$ và có đáy $\dfrac{SM}{SB}=a\Rightarrow a=\dfrac{{{S}_{ISM}}}{{{S}_{ISB}}}.$
Mà $I$ là trọng tâm của $\Delta SAC\Rightarrow \dfrac{SI}{SO}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{{{S}_{ISB}}}{{{S}_{SOB}}}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{{{S}_{ISM}}}{{{S}_{SOB}}}=\dfrac{2a}{3}.$
Chứng minh tương tự ta có: $\dfrac{{{S}_{ISN}}}{{{S}_{SOD}}}=\dfrac{2b}{3}.$
$O$ là trung điểm của $DB\Rightarrow {{S}_{SOB}}={{S}_{SOD}}=\dfrac{{{S}_{SDB}}}{2}$ hay ${{S}_{SDB}}=2{{S}_{SOB}}=2{{S}_{SOD}}$
$\Rightarrow \dfrac{2a}{3}+\dfrac{2b}{3}=\dfrac{{{S}_{ISM}}}{{{S}_{SOB}}}+\dfrac{{{S}_{ISN}}}{{{S}_{SOD}}}=\dfrac{2{{S}_{ISM}}}{2{{S}_{SOB}}}+\dfrac{2{{S}_{ISN}}}{2{{S}_{SOD}}}=\dfrac{2\left( {{S}_{ISM}}+{{S}_{ISN}} \right)}{{{S}_{SDB}}}=\dfrac{2{{S}_{SNM}}}{{{S}_{SDB}}}$
$\Rightarrow a+b=\dfrac{3{{S}_{SNM}}}{{{S}_{SDB}}}=\dfrac{3SN.SM.\sin \widehat{MSN}}{SD.SB.\sin \widehat{BSD}}=3.\dfrac{SN}{SD}.\dfrac{SM}{SB}=3ab.$
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: $ab\le \dfrac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}\Rightarrow a+b=3ab\le \dfrac{3{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}$
$\Rightarrow 3\left( a+b \right)\ge 4$ (do $a+b>0)\Rightarrow a+b\ge \dfrac{4}{3}\Rightarrow 6\left( a+b \right)\ge 8$ hay ${{V}_{S.AMEN}}\ge 8\left( c{{m}^{3}} \right).$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow \dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SD}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow MN$ đi qua $I$ và $MN//BD$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp $S.AMEN$ là $8c{{m}^{3}}.$
A. $9c{{m}^{3}}$
B. $8c{{m}^{3}}$
C. $6c{{m}^{3}}$
D. $7c{{m}^{3}}$
Mặt đáy $\left( ABCD \right)$ là hình bình hành $\Rightarrow \Delta ADC$ và $\Delta ABC$ có cùng diện tích
$\Rightarrow {{V}_{S.ADC}}={{V}_{S.ABC}}$ (hai khối chóp có cùng chiều cao và có diện tích mặt đáy bằng nhau).
Mà ${{V}_{S.ABCD}}={{V}_{S.ADC}}+{{V}_{S.ABC}}=24c{{m}^{3}}\Rightarrow {{V}_{S.ADC}}={{V}_{S.ABC}}=\dfrac{{{V}_{S.ABCD}}}{2}=\dfrac{24}{2}=12\left( c{{m}^{3}} \right).$
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD;I$ là giao điểm của $SO$ và $AE\Rightarrow I$ là trọng tâm của $\Delta SAC$ và $I$ thuộc $MN.$ Gọi $\dfrac{SM}{SB}=a$ và $\dfrac{SN}{SD}=b\left( a>0;b>0 \right).$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{S.ANE}}}{{{V}_{S.ADC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SN}{SD}.\dfrac{SE}{SC}=1.b.\dfrac{1}{2}=\dfrac{b}{2}$ và $\dfrac{{{V}_{S.AME}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SE}{SC}=1.a.\dfrac{1}{2}=\dfrac{a}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.ANE}}}{12}=\dfrac{b}{2}$ và $\dfrac{{{V}_{S.AME}}}{12}=\dfrac{a}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ANE}}=6b\left( c{{m}^{3}} \right)$ và ${{V}_{S.AME}}=6a\left( c{{m}^{3}} \right).$
Do đó: ${{V}_{S.AMEN}}={{V}_{S.AME}}+{{V}_{S.ANE}}=6a+6b=6\left( a+b \right)\left( c{{m}^{3}} \right).$
Mặt khác: $\Delta ISM$ và $\Delta ISB$ có chung chiều cao kẻ từ $I$ và có đáy $\dfrac{SM}{SB}=a\Rightarrow a=\dfrac{{{S}_{ISM}}}{{{S}_{ISB}}}.$
Mà $I$ là trọng tâm của $\Delta SAC\Rightarrow \dfrac{SI}{SO}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{{{S}_{ISB}}}{{{S}_{SOB}}}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{{{S}_{ISM}}}{{{S}_{SOB}}}=\dfrac{2a}{3}.$
Chứng minh tương tự ta có: $\dfrac{{{S}_{ISN}}}{{{S}_{SOD}}}=\dfrac{2b}{3}.$
$O$ là trung điểm của $DB\Rightarrow {{S}_{SOB}}={{S}_{SOD}}=\dfrac{{{S}_{SDB}}}{2}$ hay ${{S}_{SDB}}=2{{S}_{SOB}}=2{{S}_{SOD}}$
$\Rightarrow \dfrac{2a}{3}+\dfrac{2b}{3}=\dfrac{{{S}_{ISM}}}{{{S}_{SOB}}}+\dfrac{{{S}_{ISN}}}{{{S}_{SOD}}}=\dfrac{2{{S}_{ISM}}}{2{{S}_{SOB}}}+\dfrac{2{{S}_{ISN}}}{2{{S}_{SOD}}}=\dfrac{2\left( {{S}_{ISM}}+{{S}_{ISN}} \right)}{{{S}_{SDB}}}=\dfrac{2{{S}_{SNM}}}{{{S}_{SDB}}}$
$\Rightarrow a+b=\dfrac{3{{S}_{SNM}}}{{{S}_{SDB}}}=\dfrac{3SN.SM.\sin \widehat{MSN}}{SD.SB.\sin \widehat{BSD}}=3.\dfrac{SN}{SD}.\dfrac{SM}{SB}=3ab.$
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: $ab\le \dfrac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}\Rightarrow a+b=3ab\le \dfrac{3{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}$
$\Rightarrow 3\left( a+b \right)\ge 4$ (do $a+b>0)\Rightarrow a+b\ge \dfrac{4}{3}\Rightarrow 6\left( a+b \right)\ge 8$ hay ${{V}_{S.AMEN}}\ge 8\left( c{{m}^{3}} \right).$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow \dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SD}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow MN$ đi qua $I$ và $MN//BD$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp $S.AMEN$ là $8c{{m}^{3}}.$
Đáp án A.