Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành $ABCD$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$. Biết thể tích khối chóp $S.MNPQ$ là $V$, khi đó thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là:
A. $\dfrac{27V}{4}$
B. ${{\left( \dfrac{9}{2} \right)}^{2}}V$
C. $\dfrac{9V}{4}$
D. $\dfrac{81V}{8}$
Ta có $\dfrac{d\left( S,\left( MNPQ \right) \right)}{d\left( S,\left( ABCD \right) \right)}=\dfrac{SM}{SI}=\dfrac{2}{3}$.
Mặt khác gọi $S={{S}_{ABCD}}$ ta có $\dfrac{{{S}_{\Delta DEJ}}}{{{S}_{\Delta BDA}}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}$ $\Rightarrow {{S}_{\Delta DEJ}}=\dfrac{1}{16}S$.
Tương tự ta có $\dfrac{{{S}_{\Delta JAI}}}{{{S}_{\Delta DAB}}}=\dfrac{1}{4}$ $\Rightarrow {{S}_{\Delta JAI}}=\dfrac{1}{8}$.
Suy ra ${{S}_{HKIJ}}=\left[ 1-\left( 4.\dfrac{1}{16}+2.\dfrac{1}{8} \right) \right]S=\dfrac{1}{2}S$.
Mà $\dfrac{{{S}_{MNPQ}}}{{{S}_{HKIJ}}}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{4}{9}$ $\Rightarrow {{S}_{MNPQ}}=\dfrac{2}{9}{{S}_{ABCD}}$.
Suy ra ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}d\left( S,\left( ABCD \right) \right).S$ $=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}d\left( S,\left( MNPQ \right) \right).\dfrac{9}{2}S=\dfrac{27}{4}V$.
A. $\dfrac{27V}{4}$
B. ${{\left( \dfrac{9}{2} \right)}^{2}}V$
C. $\dfrac{9V}{4}$
D. $\dfrac{81V}{8}$
Ta có $\dfrac{d\left( S,\left( MNPQ \right) \right)}{d\left( S,\left( ABCD \right) \right)}=\dfrac{SM}{SI}=\dfrac{2}{3}$.
Mặt khác gọi $S={{S}_{ABCD}}$ ta có $\dfrac{{{S}_{\Delta DEJ}}}{{{S}_{\Delta BDA}}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}$ $\Rightarrow {{S}_{\Delta DEJ}}=\dfrac{1}{16}S$.
Tương tự ta có $\dfrac{{{S}_{\Delta JAI}}}{{{S}_{\Delta DAB}}}=\dfrac{1}{4}$ $\Rightarrow {{S}_{\Delta JAI}}=\dfrac{1}{8}$.
Suy ra ${{S}_{HKIJ}}=\left[ 1-\left( 4.\dfrac{1}{16}+2.\dfrac{1}{8} \right) \right]S=\dfrac{1}{2}S$.
Mà $\dfrac{{{S}_{MNPQ}}}{{{S}_{HKIJ}}}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{4}{9}$ $\Rightarrow {{S}_{MNPQ}}=\dfrac{2}{9}{{S}_{ABCD}}$.
Suy ra ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}d\left( S,\left( ABCD \right) \right).S$ $=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}d\left( S,\left( MNPQ \right) \right).\dfrac{9}{2}S=\dfrac{27}{4}V$.
Đáp án A.