Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy hình thoi cạnh $a$, góc $\widehat{ABC}=60{}^\circ $. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $30{}^\circ $. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
Gọi $AC\cap BD=\left\{ O \right\}$. Tam giác $ABC$ cân tại $B$ và $\widehat{ABC}=60{}^\circ $ nên $\Delta ABC$ đều.
Suy ra $AC=AB=BC=a$ và $BO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BD=2BO=a\sqrt{3}$.
Do đó ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{AC.BD}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
Lại có góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $\widehat{SCA}=30{}^\circ $.
Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ nên $SA=AC.\tan 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
Suy ra $AC=AB=BC=a$ và $BO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BD=2BO=a\sqrt{3}$.
Do đó ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{AC.BD}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
Lại có góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $\widehat{SCA}=30{}^\circ $.
Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ nên $SA=AC.\tan 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
Đáp án C.