. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a, tam giác BCD cân tại

C, \hat{B C D} = 120^{0}, S A ⊥ (A B C D), S A = a .

Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh

S B, S C, S D

lần lượt tại

M, N, P .

Tính thể tích khối chóp

S . A M N P

A.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .

B.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{42} .

C.

\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{21} .

D.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{14} .

Ta có:

\hat{A B D} = \hat{A D B} = 60^{\circ}, \hat{C B D} = \hat{C D B} = 30^{\circ}

Suy ra

\hat{A B C} = \hat{A D C} = 90^{\circ}

.
Suy ra

B C ⊥ A B

, mà

B C ⊥ S A \Rightarrow C B ⊥ (S A B)

Dựng

A M ⊥ S B

, ta có

A M ⊥ B C \Rightarrow A M ⊥ S C

.
Tương tự ta có

A P ⊥ SD

.
Dựng

A N ⊥ S C

theo tính chất đối xứng thì

\frac{V_{S . A M N P}}{V_{S . A B C D}} = \frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S B} . \frac{S N}{S C}

Mặt khác

S A = S M . S B \Rightarrow \frac{S M}{S B} = \frac{S A^{2}}{S B^{2}} = \frac{1}{2}

Tương tự ta có

\frac{S N}{S C} = \frac{S A^{2}}{S C^{2}} = \frac{1}{1 + A C^{2}}

Trong đó

A I = \frac{a \sqrt{3}}{2}, C I = I B \tan 30^{\circ} = \frac{a \sqrt{3}}{6} \Rightarrow A C = \frac{2}{3} a \sqrt{3} \Rightarrow \frac{S N}{S C} = \frac{3}{7}

Suy ra

\frac{V_{S . A M N P}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{2} . \frac{3}{7} = \frac{3}{14}, S_{A B C D} = \frac{1}{2} A C . B D = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{3}

\Rightarrow V_{S . A M N P} = \frac{3}{14} V_{S . A B C D} = \frac{3}{14} . \frac{1}{3} . S A . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{42}

.

Đáp án B.