Cho khối chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông, $S A$ vuông góc...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho khối chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông,

S A

vuông góc với mặt phẳng đáy và

S A = 2 a

. Biết góc giữa đường thẳng

S D

và mặt phẳng

(S A C)

bằng

30^{0}

. Thể tích khối chóp đã cho bằng:
A.

\frac{8 a^{3}}{3} .

B.

\frac{4 a^{3}}{3} .

C.

8 a^{3} .

D.

4 a^{3} .

Gọi

O

là tâm của mặt đáy

A B C D .

Dễ dàng chứng minh được: Góc giữa SD và

(S A C)

là góc

\hat{O S D}

. Suy ra

\hat{O S D} = 30^{0}

.
Đặt

B C = x (x > 0) .

Ta tính được:

O A = O D = \frac{x \sqrt{2}}{2}

.
Xét

Δ S A O

vuông tại A:

S O = \sqrt{S A^{2} + A O^{2}} = \sqrt{4 a^{2} + \frac{x^{2}}{2}}

.
Xét

Δ S O D

vuông tại O:

\tan \hat{O S D} = \frac{O D}{S O} = \frac{x \sqrt{2}}{2} : \sqrt{4 a^{2} + \frac{x^{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \frac{x \sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{4 a^{2} + \frac{x^{2}}{2}}

\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{2} = \frac{1}{3} (4 a^{2} + \frac{x^{2}}{2}) \Leftrightarrow x = 2 a

. Diện tích mặt đáy ABCD là:

S_{A B C D} = A B^{2} = 4 a^{2}

Vậy thể tích khối chóp

S A B C D

là:

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} .2 a .4 a^{2} = \frac{8 a^{3}}{3} .

Đáp án A.

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc...