Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA\bot \left( ABCD \right)$ và $SA=a$, góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng ${{30}^{{}^\circ }}$ (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $\left( SBC \right)$.
A. $\dfrac{a}{2}$.
B. $\dfrac{a}{6}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
Ta có $\left( SC,\left( ABCD \right) \right)=\widehat{SCA}={{30}^{{}^\circ }}.$
Vì $AD//BC\Rightarrow AD//\left( SBC \right)\Rightarrow d\left( AD,\left( SBC \right) \right)=d\left( A,\left( SBC \right) \right).$
Dựng $AH\bot SB$. Dễ dàng chứng mình $AH\bot \left( SBC \right).$
Suy ra $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH=\dfrac{SA\cdot AB}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}.$
Ta có $AC=a\sqrt{3}\Rightarrow AB=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
Suy ra $AH=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
B. $\dfrac{a}{6}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
Vì $AD//BC\Rightarrow AD//\left( SBC \right)\Rightarrow d\left( AD,\left( SBC \right) \right)=d\left( A,\left( SBC \right) \right).$
Dựng $AH\bot SB$. Dễ dàng chứng mình $AH\bot \left( SBC \right).$
Suy ra $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH=\dfrac{SA\cdot AB}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}.$
Ta có $AC=a\sqrt{3}\Rightarrow AB=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
Suy ra $AH=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Đáp án C.