Google
Câu hỏi: . Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là điểm H thuộc đoạn BD sao cho $HD=3HB$. Biết gọc giữa mặt $\left( SCD \right)$ và mặt phẳng đáy bằng $45{}^\circ .$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là
A. $\dfrac{2a\sqrt{38}}{17}.$
B. $\dfrac{2a\sqrt{13}}{3}.$
C. $\dfrac{2a\sqrt{51}}{13}.$
D. $\dfrac{3a\sqrt{34}}{17}.$
A. $\dfrac{2a\sqrt{38}}{17}.$
B. $\dfrac{2a\sqrt{13}}{3}.$
C. $\dfrac{2a\sqrt{51}}{13}.$
D. $\dfrac{3a\sqrt{34}}{17}.$
Kẻ $HI\text{ // BC}$ cắt CD tại I ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& C\text{D}\bot \text{HI} \\
& \text{CD}\bot \text{S}I \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra góc giữa mặt phẳng $\left( SC\text{D} \right)$ và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{SIH}=45{}^\circ $.
Dựng hình bình hành ADBE.
Ta có $B\text{D // }\left( SA\text{E} \right)\Rightarrow d\left( SA,B\text{D} \right)=d\left( B\text{D},(SA\text{E}) \right)=d\left( B,(SA\text{E}) \right)=d\left( H,(SA\text{E}) \right)$.
Kẻ $HJ\bot A\text{E}$ vuông góc tại J ta có $A\text{E}\bot \left( SHJ \right)\Rightarrow \left( SA\text{E} \right)\bot \left( SHJ \right)$ theo giao tuyến SJ.
Kẻ $HK\bot \text{S}J$ vuông góc tại K ta có $HK\bot \left( SA\text{E} \right)\Rightarrow HK=d\left( H,(SA\text{E}) \right)$.
Ta có $HK=\dfrac{HJ.H\text{S}}{SJ}=\dfrac{HJ.H\text{S}}{\sqrt{H{{J}^{2}}+H{{\text{S}}^{2}}}}$.
Với $HJ=AO=a\sqrt{2},HI=\dfrac{3}{4}BC=\dfrac{3a}{2}$.
Và $H\text{S}=HI=\dfrac{3\text{a}}{2}$.
Vậy $HK=\dfrac{a\sqrt{2}.\dfrac{3\text{a}}{2}}{\sqrt{2{{\text{a}}^{2}}+\dfrac{9{{\text{a}}^{2}}}{4}}}=\dfrac{3\text{a}\sqrt{34}}{17}$.
& C\text{D}\bot \text{HI} \\
& \text{CD}\bot \text{S}I \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra góc giữa mặt phẳng $\left( SC\text{D} \right)$ và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{SIH}=45{}^\circ $.
Dựng hình bình hành ADBE.
Ta có $B\text{D // }\left( SA\text{E} \right)\Rightarrow d\left( SA,B\text{D} \right)=d\left( B\text{D},(SA\text{E}) \right)=d\left( B,(SA\text{E}) \right)=d\left( H,(SA\text{E}) \right)$.
Kẻ $HJ\bot A\text{E}$ vuông góc tại J ta có $A\text{E}\bot \left( SHJ \right)\Rightarrow \left( SA\text{E} \right)\bot \left( SHJ \right)$ theo giao tuyến SJ.
Kẻ $HK\bot \text{S}J$ vuông góc tại K ta có $HK\bot \left( SA\text{E} \right)\Rightarrow HK=d\left( H,(SA\text{E}) \right)$.
Ta có $HK=\dfrac{HJ.H\text{S}}{SJ}=\dfrac{HJ.H\text{S}}{\sqrt{H{{J}^{2}}+H{{\text{S}}^{2}}}}$.
Với $HJ=AO=a\sqrt{2},HI=\dfrac{3}{4}BC=\dfrac{3a}{2}$.
Và $H\text{S}=HI=\dfrac{3\text{a}}{2}$.
Vậy $HK=\dfrac{a\sqrt{2}.\dfrac{3\text{a}}{2}}{\sqrt{2{{\text{a}}^{2}}+\dfrac{9{{\text{a}}^{2}}}{4}}}=\dfrac{3\text{a}\sqrt{34}}{17}$.
Đáp án D.