. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

(A B C D)

là điểm H thuộc đoạn BD sao cho

H D = 3 H B

. Biết gọc giữa mặt

(S C D)

và mặt phẳng đáy bằng

45^{\circ} .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là
A.

\frac{2 a \sqrt{38}}{17} .

B.

\frac{2 a \sqrt{13}}{3} .

C.

\frac{2 a \sqrt{51}}{13} .

D.

\frac{3 a \sqrt{34}}{17} .

Kẻ

H I // BC

cắt CD tại I ta có:

{\begin{aligned} C D ⊥ HI \\ CD ⊥ S I \end{aligned}

.
Suy ra góc giữa mặt phẳng

(S C D)

và mặt phẳng đáy là góc

\hat{S I H} = 45^{\circ}

.
Dựng hình bình hành ADBE.
Ta có

B D // (S A E) \Rightarrow d (S A, B D) = d (B D, (S A E)) = d (B, (S A E)) = d (H, (S A E))

.
Kẻ

H J ⊥ A E

vuông góc tại J ta có

A E ⊥ (S H J) \Rightarrow (S A E) ⊥ (S H J)

theo giao tuyến SJ.
Kẻ

H K ⊥ S J

vuông góc tại K ta có

H K ⊥ (S A E) \Rightarrow H K = d (H, (S A E))

.

Ta có

H K = \frac{H J . H S}{S J} = \frac{H J . H S}{\sqrt{H J^{2} + H S^{2}}}

.
Với

H J = A O = a \sqrt{2}, H I = \frac{3}{4} B C = \frac{3 a}{2}

.
Và

H S = H I = \frac{3 a}{2}

.
Vậy

H K = \frac{a \sqrt{2} . \frac{3 a}{2}}{\sqrt{2 a^{2} + \frac{9 a^{2}}{4}}} = \frac{3 a \sqrt{34}}{17}

.

Đáp án D.