Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a,SA=SB=SC=a$. Đặt $x=SD\left( 0<x<a\sqrt{3} \right)$. Tìm $x$ theo $a$ để tích $AC.SD$ đạt giá trị lớn nhất.
A. $x=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
B. $x=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
C. $x=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
D. $x=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Ta có $A B C D$ là hình thoi cạnh $a$ nên $\triangle S O C=\triangle B O C \Rightarrow O S=O B=O D \Rightarrow$ tam giác $S B D$ vuông tại $S$.
Suy ra $B D=\sqrt{a^{2}+x^{2}} \Rightarrow O B=\dfrac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{2} ; A C=2 O C=2 \sqrt{B C^{2}-O B^{2}}=\sqrt{3 a^{2}-x^{2}}$
Do đó $A C . S D=x \sqrt{3 a^{2}-x^{2}}$. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $ x \sqrt{3 a^{2}-x^{2}} \leq \dfrac{x^{2}+3 a^{2}-x^{2}}{2}=\dfrac{3 a^{2}}{2} \Rightarrow A C . S D \leq \dfrac{3 a^{2}}{2} $
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $ x=\sqrt{3 a^{2}-x^{2}} \Leftrightarrow x^{2}=3 a^{2}-x^{2} \Leftrightarrow x=\dfrac{a \sqrt{6}}{2} \text {. } $
Vậy $x=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$ thì tích $A C . S D$ đạt giá trị lớn nhất.
A. $x=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
B. $x=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
C. $x=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
D. $x=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Ta có $A B C D$ là hình thoi cạnh $a$ nên $\triangle S O C=\triangle B O C \Rightarrow O S=O B=O D \Rightarrow$ tam giác $S B D$ vuông tại $S$.
Suy ra $B D=\sqrt{a^{2}+x^{2}} \Rightarrow O B=\dfrac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{2} ; A C=2 O C=2 \sqrt{B C^{2}-O B^{2}}=\sqrt{3 a^{2}-x^{2}}$
Do đó $A C . S D=x \sqrt{3 a^{2}-x^{2}}$. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $ x \sqrt{3 a^{2}-x^{2}} \leq \dfrac{x^{2}+3 a^{2}-x^{2}}{2}=\dfrac{3 a^{2}}{2} \Rightarrow A C . S D \leq \dfrac{3 a^{2}}{2} $
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $ x=\sqrt{3 a^{2}-x^{2}} \Leftrightarrow x^{2}=3 a^{2}-x^{2} \Leftrightarrow x=\dfrac{a \sqrt{6}}{2} \text {. } $
Vậy $x=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$ thì tích $A C . S D$ đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án C.