Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $2a$, $\widehat{ABC}=60{}^\circ $, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, mặt bên $\left( SCD \right)$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $3{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
C. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
D. $2{{a}^{3}}$.
Tam giác $ABC$ cân (do $AB=AC$ bởi $ABCD$ là hình thoi) có $\widehat{ABC}=60{}^\circ $ nên nó đều.
Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CD$ suy ra $AM\bot CD$ ;
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AM \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ CD\bot SM $ nên $ \left( \left( SCD \right),\left( ABCD \right) \right)=\left( SM,AM \right)=\widehat{SMA}=60{}^\circ $, với $ AM=2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3} $ ta có $ SA=AM.\tan 60{}^\circ =3a$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.2{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.3a.2.{{\left( 2a \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
A. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $3{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
C. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
D. $2{{a}^{3}}$.
Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CD$ suy ra $AM\bot CD$ ;
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AM \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ CD\bot SM $ nên $ \left( \left( SCD \right),\left( ABCD \right) \right)=\left( SM,AM \right)=\widehat{SMA}=60{}^\circ $, với $ AM=2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3} $ ta có $ SA=AM.\tan 60{}^\circ =3a$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.2{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.3a.2.{{\left( 2a \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Đáp án A.