Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

A B = a, A D = 2 a

, cạnh SA vuông góc với đáy và SB tạo với đáy một góc

60^{\circ}

. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho

A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}

. Mặt phẳng

(B C M)

cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích V của khối chóp S.BCNM.
A.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}

D.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

Ta có

S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow A B

là hình chiếu của SB lên mặt phẳng

(A B C D)

\Rightarrow \hat{S B A} = 60^{\circ}, A B = a \Rightarrow S A = a \sqrt{3}, A M = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow M

là trung điểm của SA.
Ta có:

(M B C) \cap (S A D) = M N, BC // AD \Rightarrow M N // AD \Rightarrow N

là trung điểm của SD.
Lại có

V_{S . B C N M} = V_{S . B C M} + V_{S . M C N}

;

\frac{V_{S . B C M}}{V_{S . B C A}} = \frac{S M}{S A} = \frac{1}{2} \Rightarrow V_{S . B C M} = \frac{1}{2} V_{S . B C A} = \frac{1}{4} V_{S . A B C D}; \frac{V_{S . M C N}}{V_{S . A C D}} = \frac{S M . S N}{S A . S D} = \frac{1}{4} \Rightarrow V_{S . M C N} = \frac{1}{4} V_{S . A C D} = \frac{1}{8} V_{S . A B C D}

\Rightarrow V_{S . B C N M} = \frac{3}{8} V_{S . A B C D} = \frac{3}{8} . \frac{1}{3} . a .2 a . a \sqrt{3} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

.

Đáp án A.