Google
Câu hỏi: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB=a,A\text{D}=2\text{a}$, cạnh SA vuông góc với đáy và SB tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Mặt phẳng $\left( BCM \right)$ cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích V của khối chóp S.BCNM.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$
Ta có $SA\bot \left( ABC\text{D} \right)\Rightarrow AB$ là hình chiếu của SB lên mặt phẳng $\left( ABC\text{D} \right)$
$\Rightarrow \widehat{SBA}=60{}^\circ ,AB=a\Rightarrow SA=a\sqrt{3},AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow M$ là trung điểm của SA.
Ta có: $\left( MBC \right)\cap \left( SA\text{D} \right)=MN,\text{ BC // AD}\Rightarrow MN\text{ // AD}\Rightarrow N$ là trung điểm của SD.
Lại có ${{V}_{S.BCNM}}={{V}_{S.BCM}}+{{V}_{S.MCN}}$ ;
$\dfrac{{{V}_{S.BCM}}}{{{V}_{S.BCA}}}=\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{S.BCM}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.BCA}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABC\text{D}}};\dfrac{{{V}_{S.MCN}}}{{{V}_{S.AC\text{D}}}}=\dfrac{SM.SN}{SA.S\text{D}}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{S.MCN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.AC\text{D}}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{S.ABC\text{D}}}$
$\Rightarrow {{V}_{S.BCNM}}=\dfrac{3}{8}{{V}_{S.ABC\text{D}}}=\dfrac{3}{8}.\dfrac{1}{3}.a.2\text{a}.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$
Ta có $SA\bot \left( ABC\text{D} \right)\Rightarrow AB$ là hình chiếu của SB lên mặt phẳng $\left( ABC\text{D} \right)$
$\Rightarrow \widehat{SBA}=60{}^\circ ,AB=a\Rightarrow SA=a\sqrt{3},AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow M$ là trung điểm của SA.
Ta có: $\left( MBC \right)\cap \left( SA\text{D} \right)=MN,\text{ BC // AD}\Rightarrow MN\text{ // AD}\Rightarrow N$ là trung điểm của SD.
Lại có ${{V}_{S.BCNM}}={{V}_{S.BCM}}+{{V}_{S.MCN}}$ ;
$\dfrac{{{V}_{S.BCM}}}{{{V}_{S.BCA}}}=\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{S.BCM}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.BCA}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABC\text{D}}};\dfrac{{{V}_{S.MCN}}}{{{V}_{S.AC\text{D}}}}=\dfrac{SM.SN}{SA.S\text{D}}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{S.MCN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.AC\text{D}}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{S.ABC\text{D}}}$
$\Rightarrow {{V}_{S.BCNM}}=\dfrac{3}{8}{{V}_{S.ABC\text{D}}}=\dfrac{3}{8}.\dfrac{1}{3}.a.2\text{a}.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
Đáp án A.