Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a$, $AD=a\sqrt{3}$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng $\left( SBC \right)$ tạo với đáy một góc ${{60}^{o}}$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.
A. $V=3{{a}^{3}}$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
C. $V={{a}^{3}}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
Ta có ${{S}_{ABCD}}=\sqrt{3}{{a}^{2}}$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABCD \right)=BC \\
& BC\bot SB\subset \left( SBC \right) \\
& BC\bot AB\subset \left( ABCD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SB;AB \right)}=\widehat{SBA}$.
Vậy $\widehat{SBA}={{60}^{o}}$
Xét tam giác vuông $SAB$ có: $\tan {{60}^{o}}=\dfrac{SA}{AB}\Rightarrow SA=AB.\tan {{60}^{o}}=a\sqrt{3}$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}\sqrt{3}.a\sqrt{3}={{a}^{3}}$.
A. $V=3{{a}^{3}}$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
C. $V={{a}^{3}}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
Ta có ${{S}_{ABCD}}=\sqrt{3}{{a}^{2}}$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABCD \right)=BC \\
& BC\bot SB\subset \left( SBC \right) \\
& BC\bot AB\subset \left( ABCD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SB;AB \right)}=\widehat{SBA}$.
Vậy $\widehat{SBA}={{60}^{o}}$
Xét tam giác vuông $SAB$ có: $\tan {{60}^{o}}=\dfrac{SA}{AB}\Rightarrow SA=AB.\tan {{60}^{o}}=a\sqrt{3}$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}\sqrt{3}.a\sqrt{3}={{a}^{3}}$.
Đáp án C.