Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a.$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( SCD \right)$ bằng $\varphi ,$ với $\cos \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$ Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
C. ${{a}^{3}}\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}.$
Đặt $AD=x$ với $x>0.$
Trong mặt phẳng $\left( SAC \right):$ kẻ $AH\bot SB$ tại $H;$ trong mặt phẳng $\left( SAD \right)$, kẻ $AK\bot SD$ tại $K.$
Dễ dàng chứng minh được $AH\bot \left( SBC \right)$, $AK\bot \left( SCD \right)$ và $H$ là trung điểm của $SB.$
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ
Ta có: $A\left( 0;0;0 \right),B\left( a;0;0 \right),S\left( 0;0;a \right),D\left( 0;x;0 \right),H\left( \dfrac{a}{2};0;\dfrac{a}{2} \right)$
Suy ra: $\overrightarrow{SD}=\left( 0;x;-a \right),\overrightarrow{AS}=\left( 0;0;a \right),\overrightarrow{AH}=\left( \dfrac{a}{2};0;\dfrac{a}{2} \right).$
Trong tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có
$S{{A}^{2}}=SK.SD\Leftrightarrow \dfrac{SK}{SD}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{D}^{2}}}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$
$\Rightarrow \overrightarrow{SK}=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\overrightarrow{SD}\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AS}=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\overrightarrow{SD}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\overrightarrow{SD}+\overrightarrow{AS}\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}=\left( 0;\dfrac{{{a}^{2}}x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}};\dfrac{a{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}} \right)$.
Do $\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AK}$ lần lượt là hai véc-tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( SCD \right)$ nên
$\cos \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \dfrac{\left| \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AK} \right|}{\left| \overrightarrow{AH} \right|.\left| \overrightarrow{AK} \right|}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{3}\left| \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AK} \right|=\left| \overrightarrow{AH} \right|.\left| \overrightarrow{AK} \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{3}.\left| \dfrac{a}{2}.\dfrac{a{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}} \right|=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\sqrt{\dfrac{{{a}^{4}}{{x}^{2}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}+\dfrac{{{a}^{2}}{{x}^{4}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}.{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \sqrt{3}x=\sqrt{2}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}=2{{a}^{2}}+2{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{2}=AD.$
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\dfrac{1}{3}SA.AB.AD=\dfrac{1}{3}.a.a.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
C. ${{a}^{3}}\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}.$
Đặt $AD=x$ với $x>0.$
Trong mặt phẳng $\left( SAC \right):$ kẻ $AH\bot SB$ tại $H;$ trong mặt phẳng $\left( SAD \right)$, kẻ $AK\bot SD$ tại $K.$
Dễ dàng chứng minh được $AH\bot \left( SBC \right)$, $AK\bot \left( SCD \right)$ và $H$ là trung điểm của $SB.$
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ
Ta có: $A\left( 0;0;0 \right),B\left( a;0;0 \right),S\left( 0;0;a \right),D\left( 0;x;0 \right),H\left( \dfrac{a}{2};0;\dfrac{a}{2} \right)$
Suy ra: $\overrightarrow{SD}=\left( 0;x;-a \right),\overrightarrow{AS}=\left( 0;0;a \right),\overrightarrow{AH}=\left( \dfrac{a}{2};0;\dfrac{a}{2} \right).$
Trong tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có
$S{{A}^{2}}=SK.SD\Leftrightarrow \dfrac{SK}{SD}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{D}^{2}}}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$
$\Rightarrow \overrightarrow{SK}=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\overrightarrow{SD}\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AS}=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\overrightarrow{SD}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\overrightarrow{SD}+\overrightarrow{AS}\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}=\left( 0;\dfrac{{{a}^{2}}x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}};\dfrac{a{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}} \right)$.
Do $\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AK}$ lần lượt là hai véc-tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( SCD \right)$ nên
$\cos \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \dfrac{\left| \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AK} \right|}{\left| \overrightarrow{AH} \right|.\left| \overrightarrow{AK} \right|}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{3}\left| \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AK} \right|=\left| \overrightarrow{AH} \right|.\left| \overrightarrow{AK} \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{3}.\left| \dfrac{a}{2}.\dfrac{a{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}} \right|=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\sqrt{\dfrac{{{a}^{4}}{{x}^{2}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}+\dfrac{{{a}^{2}}{{x}^{4}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}.{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \sqrt{3}x=\sqrt{2}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}=2{{a}^{2}}+2{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{2}=AD.$
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\dfrac{1}{3}SA.AB.AD=\dfrac{1}{3}.a.a.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
Đáp án B.