Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,SA$...

Đặt $AD=x$ với $x>0.$
Trong mặt phẳng $\left(SAC\right):$ kẻ $AH\mathrm{\perp }SB$ tại $H;$ trong mặt phẳng $\left(SAD\right)$, kẻ $AK\mathrm{\perp }SD$ tại $K.$
Dễ dàng chứng minh được $AH\mathrm{\perp }\left(SBC\right)$, $AK\mathrm{\perp }\left(SCD\right)$ và $H$ là trung điểm của $SB.$
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ
Ta có: $A(0;0;0),B(a;0;0),S(0;0;a),D(0;x;0),H({\displaystyle \frac{a}{2}};0;{\displaystyle \frac{a}{2}})$
Suy ra: $\overrightarrow{SD}=(0;x;-a),\overrightarrow{AS}=(0;0;a),\overrightarrow{AH}=({\displaystyle \frac{a}{2}};0;{\displaystyle \frac{a}{2}}).$
Trong tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có
$S{A}^2=SK.SD\iff {\displaystyle \frac{SK}{SD}}={\displaystyle \frac{S{A}^2}{S{D}^2}}={\displaystyle \frac{S{A}^2}{S{A}^2+A{D}^2}}={\displaystyle \frac{a^2}{a^2+x^2}}$
$\Rightarrow \overrightarrow{SK}={\displaystyle \frac{a^2}{a^2+x^2}}\overrightarrow{SD}\iff \overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AS}={\displaystyle \frac{a^2}{a^2+x^2}}\overrightarrow{SD}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AK}={\displaystyle \frac{a^2}{a^2+x^2}}\overrightarrow{SD}+\overrightarrow{AS}\iff \overrightarrow{AK}=(0;{\displaystyle \frac{a^{2}x}{a^2+x^2}};{\displaystyle \frac{a{x}^2}{a^2+x^2}})$.
Do $\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AK}$ lần lượt là hai véc-tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và $\left(SCD\right)$ nên
$\cos \phi ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\iff {\displaystyle \frac{|\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AK}|}{\left|\overrightarrow{AH}\right|.\left|\overrightarrow{AK}\right|}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$
$\iff \sqrt{3}|\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AK}|=\left|\overrightarrow{AH}\right|.\left|\overrightarrow{AK}\right|$
$\iff \sqrt{3}.|{\displaystyle \frac{a}{2}}.{\displaystyle \frac{a{x}^2}{a^2+x^2}}|={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}.\sqrt{{\displaystyle \frac{a^4{x}^2}{{(a^2+x^2)}^2}}+{\displaystyle \frac{a^2{x}^4}{{(a^2+x^2)}^2}}}$
$\iff {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}.{\displaystyle \frac{a^2.x^2}{a^2+x^2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}.{\displaystyle \frac{a^{2}x}{a^2+x^2}}.\sqrt{a^2+x^2}\iff \sqrt{3}x=\sqrt{2}.\sqrt{a^2+x^2}$
$\iff 3x^2=2a^2+2x^2\iff x^2=2a^2\iff x=a\sqrt{2}=AD.$
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V={\displaystyle \frac{1}{3}}SA.AB.AD={\displaystyle \frac{1}{3}}.a.a.a\sqrt{2}={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{2}}{3}}.$