Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết $AB=\sqrt{2}a$, $AD=2a$, $\widehat{ABC}={{45}^{{}^\circ }}$ và góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$, $\left( SCD \right)$ bằng ${{30}^{{}^\circ }}$. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. $3{{a}^{3}}$.
B. ${{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
Trong $\Delta ABC$ có $AC=\sqrt{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}-2BA.BC.\cos {{45}^{{}^\circ }}}=a\sqrt{2}$ suy ra $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$.
Ta có $\left. \begin{aligned}
& CD\bot AC \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow CD\bot \left( SAC \right) $. Kẻ $ AH\bot SC\left( H\in SC \right) $ và $ HM\parallel CD\left( M\in SD \right)$.
Ta có $\left. \begin{aligned}
& SC\bot AH \\
& SC\bot HM \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow SC\bot \left( ABHM \right) $. Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $ \left( SBC \right),\left( SCD \right) $ bằng góc giữa $ \left( \widehat{BH,HM} \right)\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \widehat{BHM}={{30}^{{}^\circ }} \\
& \widehat{BHM}={{150}^{{}^\circ }}. \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $\left. \begin{aligned}
& SC\bot AH \\
& CD\bot AH \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AH\bot HM $ hay góc $ \widehat{AHM}={{90}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{BHM}>{{90}^{{}^\circ }}$.
Do đó $\widehat{BHM}={{150}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{BHA}={{60}^{{}^\circ }}$.
Trong $\Delta ABH$ vuông tại $A$ có $AH=\dfrac{AB}{\tan {{60}^{{}^\circ }}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Trong $\Delta SCA$ vuông tại $A$ có $\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{2{{a}^{2}}}\Leftrightarrow SA=a$.
Vậy thể tích khối chóp là ${{V}_{S.ABCD}}=2{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{2}{3}.SA.\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{2}{3}.a.\dfrac{1}{2}.{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
A. $3{{a}^{3}}$.
B. ${{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
Ta có $\left. \begin{aligned}
& CD\bot AC \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow CD\bot \left( SAC \right) $. Kẻ $ AH\bot SC\left( H\in SC \right) $ và $ HM\parallel CD\left( M\in SD \right)$.
Ta có $\left. \begin{aligned}
& SC\bot AH \\
& SC\bot HM \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow SC\bot \left( ABHM \right) $. Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $ \left( SBC \right),\left( SCD \right) $ bằng góc giữa $ \left( \widehat{BH,HM} \right)\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \widehat{BHM}={{30}^{{}^\circ }} \\
& \widehat{BHM}={{150}^{{}^\circ }}. \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $\left. \begin{aligned}
& SC\bot AH \\
& CD\bot AH \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AH\bot HM $ hay góc $ \widehat{AHM}={{90}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{BHM}>{{90}^{{}^\circ }}$.
Do đó $\widehat{BHM}={{150}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{BHA}={{60}^{{}^\circ }}$.
Trong $\Delta ABH$ vuông tại $A$ có $AH=\dfrac{AB}{\tan {{60}^{{}^\circ }}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Trong $\Delta SCA$ vuông tại $A$ có $\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{2{{a}^{2}}}\Leftrightarrow SA=a$.
Vậy thể tích khối chóp là ${{V}_{S.ABCD}}=2{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{2}{3}.SA.\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{2}{3}.a.\dfrac{1}{2}.{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án D.