Google
Câu hỏi: Cho khối chóp S.ABCcó $ASB=BSC=CSA=~{{60}^{0}},$ $SA=a,SB=2a,SC=4a$. Tính thể tích khối chóp S.ABCtheo a.
A. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$ .
A. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$ .
Phương pháp:
-Áp dụng công thức tỉ số thể tích: Cho chóp S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SClần lượt lấy các điểm $A',$ $B',C'.$ $Khi\acute{o}tac\acute{o}:\dfrac{{{V}_{S.A'B'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA'}{SA}~.\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC}.$
- Sử dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều cạnh a: $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
Cách giải:
Trên đoạn SB, SClần lượt lấy H,Ksao cho SH= SK= SA= a.
Dễ thấy các tam giác SAK, SHK, SAHlà các tam giác đều.
⇒ AK= HK= AH= a.
⇒ SAHKlà tứ diện đều cạnh a.
Áp dụng công thức tính nhanh ta có ${{V}_{SAHK}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.~$
Mặt khác $\dfrac{{{V}_{SAHK}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{SH}{SB}~.\dfrac{SK}{SC}=\dfrac{a}{2a}.\dfrac{a}{4a}=\dfrac{1}{8}.$.
Vậy ${{V}_{SABC}}=~8{{V}_{S.AHK}}=8.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=~\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
-Áp dụng công thức tỉ số thể tích: Cho chóp S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SClần lượt lấy các điểm $A',$ $B',C'.$ $Khi\acute{o}tac\acute{o}:\dfrac{{{V}_{S.A'B'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA'}{SA}~.\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC}.$
- Sử dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều cạnh a: $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
Cách giải:
Trên đoạn SB, SClần lượt lấy H,Ksao cho SH= SK= SA= a.
Dễ thấy các tam giác SAK, SHK, SAHlà các tam giác đều.
⇒ AK= HK= AH= a.
⇒ SAHKlà tứ diện đều cạnh a.
Áp dụng công thức tính nhanh ta có ${{V}_{SAHK}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.~$
Mặt khác $\dfrac{{{V}_{SAHK}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{SH}{SB}~.\dfrac{SK}{SC}=\dfrac{a}{2a}.\dfrac{a}{4a}=\dfrac{1}{8}.$.
Vậy ${{V}_{SABC}}=~8{{V}_{S.AHK}}=8.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=~\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
Đáp án C.