Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, $AB=a,AC=2a $, $\widehat{BAC}={{120}^{0}}$. $M, N$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB, SC$, góc giữa $mp(AMN)\And mp(ABC)$ bằng ${{60}^{0}}$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là ?
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{7}}{3}$.
B. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{5}}{9}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{9}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$.
Khi đó ta có $DB\bot AB, DC\bot AC$, lại có $SA\bot \left( ABC \right)$ nên $BD\bot \left( SAB \right), DC\bot \left( SAC \right)$.
Ta suy ra $AM\bot \left( SBD \right), AN\bot \left( SCD \right)\Rightarrow SC\bot \left( AMN \right)$.
Ta có $SA$ vuông góc với đáy nên góc giữa $\left( ABC \right),\left( AMN \right)$ là góc giữa $SD,SA$ và là góc $\widehat{ASD}$.
Ta có tứ giác $ABDC$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $AD$, hay nội tiếp đường tròn bán kính $R$ ngoại tiếp tam giác $ABC$, $AD=2R$.
Xét tam giác $ABC$ :
$BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos A}=a\sqrt{7}$.
$\dfrac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{a\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{3}\Rightarrow AD=\dfrac{2a\sqrt{21}}{3}$.
Xét tam giác $SAD$ vuông tại $A$, ta có $SA=AD.\cot \widehat{ASD}=\dfrac{2a\sqrt{21}}{3}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{2a\sqrt{7}}{3}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là ${{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a\sqrt{7}}{3}.\dfrac{1}{2}.a.2a.\sin {{120}^{0}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{9}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{7}}{3}$.
B. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{5}}{9}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{9}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$.
Trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ kẻ hai đường thẳng lần lượt vuông góc với $AB, AC$ tại $B,C$. Hai đường thẳng cắt nhau tại $D$.Khi đó ta có $DB\bot AB, DC\bot AC$, lại có $SA\bot \left( ABC \right)$ nên $BD\bot \left( SAB \right), DC\bot \left( SAC \right)$.
Ta suy ra $AM\bot \left( SBD \right), AN\bot \left( SCD \right)\Rightarrow SC\bot \left( AMN \right)$.
Ta có $SA$ vuông góc với đáy nên góc giữa $\left( ABC \right),\left( AMN \right)$ là góc giữa $SD,SA$ và là góc $\widehat{ASD}$.
Ta có tứ giác $ABDC$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $AD$, hay nội tiếp đường tròn bán kính $R$ ngoại tiếp tam giác $ABC$, $AD=2R$.
Xét tam giác $ABC$ :
$BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos A}=a\sqrt{7}$.
$\dfrac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{a\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{3}\Rightarrow AD=\dfrac{2a\sqrt{21}}{3}$.
Xét tam giác $SAD$ vuông tại $A$, ta có $SA=AD.\cot \widehat{ASD}=\dfrac{2a\sqrt{21}}{3}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{2a\sqrt{7}}{3}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là ${{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a\sqrt{7}}{3}.\dfrac{1}{2}.a.2a.\sin {{120}^{0}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{9}$.
Đáp án C.